Encontre os extremos relativos das seguintes funções avaliando se se trata de ponto de máximo, mínimo ou inflexão. Informe o valor da função no extremo. Caso não exista ponto crítico, justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os extremos relativos da função $ y(x) = (x^{2} + x)(4 + x) $. Isso significa que precisamos descobrir onde a função atinge seus valores máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar conhecimentos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas, para encontrar pontos críticos e determinar o tipo de extremo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ y(x) $. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto. Para isso, vamos aplicar a Regra do Produto, já que nossa função é o produto de $ (x^{2} + x) $ e $ (4 + x) $.
A Regra do Produto diz que:
onde $ u(x) = x^{2} + x $ e $ v(x) = 4 + x $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Expandindo o primeiro termo:
Agora, juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver a equação $ y’(x) = 0 $:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a Fórmula de Bhaskara:
onde $ a = 3 $, $ b = 10 $ e $ c = 4 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Então:
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 6
Agora, vamos determinar se esses pontos críticos correspondem a máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, usamos a Segunda Derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada $ y’’(x) $:
Passo 7
Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
- Para $ x = \frac{-5 + \sqrt{13}}{3} $:
Como $ y’’ > 0 $, esse ponto é um mínimo.
- Para $ x = \frac{-5 - \sqrt{13}}{3} $:
Como $ y’’ < 0 $, esse ponto é um máximo.
Passo 8
Finalmente, vamos calcular o valor da função $ y(x) $ nos pontos críticos:
- Para $ x = \frac{-5 + \sqrt{13}}{3} $:
Realizando os cálculos, encontramos o valor exato ou aproximado desse ponto.
- Para $ x = \frac{-5 - \sqrt{13}}{3} $:
Também aqui, ao realizar os cálculos, obtemos o valor exato ou aproximado.
Resposta
A função $ y(x) = (x^{2} + x)(4 + x) $ possui dois extremos relativos:
-
Máximo local em $ x = \frac{-5 - \sqrt{13}}{3} $, com o valor da função correspondente.
-
Mínimo local em $ x = \frac{-5 + \sqrt{13}}{3} $, com o valor da função correspondente.
Os valores exatos da função nesses pontos podem ser calculados substituindo os valores de $ x $ na função original.