Calcule as seguintes integrais:
integral(x-1)(x^2+1) d x

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular a integral de (x - 1)(x^2 + 1) em relação a x. Vamos utilizar o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente a técnica de expansão de polinômios e integração termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar a integração. Multiplicando os polinômios:
(x - 1)(x^2 + 1) = x cdot x^2 + x cdot 1 - 1 cdot x^2 - 1 cdot 1 = x^3 + x - x^2 - 1

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com o polinômio expandido:
integral (x^3 - x^2 + x - 1) , dx
A regra da somatória em integrais nos permite integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Vamos integrar cada termo individualmente:
  1. Integral de x^3:
integral x^3 , dx = x^44
  1. Integral de -x^2:
integral -x^2 , dx = -x^33
  1. Integral de x:
integral x , dx = x^22
  1. Integral de -1:
integral -1 , dx = -x

Resposta

Somando todas as integrais, temos:
integral (x - 1)(x^2 + 1) , dx = x^44 - x^33 + x^22 - x + C
Onde C representa a constante de integração.

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