Calcule as derivadas parciais das seguintes funções. Apresente sua resposta na forma de um vetor gradiente.
f(x, y)==x^2(2 y+1)^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as derivadas parciais da função f(x, y) = x^2(2y + 1)^2 em relação a x e y . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de derivadas parciais, e para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação e a regra da cadeia quando necessário. No final, vamos apresentar as derivadas na forma de um vetor gradiente.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de f em relação a x , que denotamos por partial fpartial x .
A função f(x, y) = x^2(2y + 1)^2 pode ser vista como o produto de x^2 e (2y + 1)^2 . Como estamos derivando em relação a x , tratamos y como uma constante.
Então, a derivada de x^2 em relação a x é 2x , e (2y + 1)^2 permanece como está.
Portanto,
partial fpartial x = 2x cdot (2y + 1)^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , que denotamos por partial fpartial y .
Aqui, a função f(x, y) = x^2(2y + 1)^2 é vista como x^2 multiplicado por (2y + 1)^2 . Como estamos derivando em relação a y , x^2 é tratado como uma constante.
Para derivar (2y + 1)^2 em relação a y , usamos a regra da cadeia:
ddy (2y + 1)^2 = 2 cdot (2y + 1) cdot ddy(2y + 1) = 2(2y + 1)(2) = 4(2y + 1)
Portanto,
partial fpartial y = x^2 cdot 4(2y + 1) = 4x^2(2y + 1)

Resposta

O vetor gradiente de f(x, y) é:
nabla f = ( 2x(2y + 1)^2, 4x^2(2y + 1) )

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