Calcule as derivadas parciais das seguintes funções. Apresente sua resposta na forma de um vetor gradiente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo de derivadas parciais, e para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação e a regra da cadeia quando necessário. No final, vamos apresentar as derivadas na forma de um vetor gradiente.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, que denotamos por
.
A função
pode ser vista como o produto de
e
. Como estamos derivando em relação a
, tratamos
como uma constante.
Então, a derivada de
em relação a
é
, e
permanece como está.
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que denotamos por
.
Aqui, a função
é vista como
multiplicado por
. Como estamos derivando em relação a
,
é tratado como uma constante.
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Portanto,
Resposta
O vetor gradiente de
é: