Verifique se as funções a seguir são monótonas. Caso verdadeiro, classifique se crescente ou decrescente e calcule a derivada da função inversa. , para x <= 0
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função f(x) = |x^3| , definida para x <= 0 , é monótona. Se for, a gente classifica como crescente ou decrescente e ainda calcula a derivada da função inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser monótona, como determinar se ela é crescente ou decrescente, e como encontrar e derivar a função inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função f(x) = |x^3| para x <= 0 . Sabemos que para números negativos ou zero, o valor absoluto de x^3 é igual a -x^3, já que x^3 será negativo. Então, podemos reescrever a função assim:
f(x) = -x^3, para x <= 0
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa função é monótona. Uma função é monótona se ela é sempre crescente ou sempre decrescente em seu domínio. Para descobrir isso, vamos analisar a derivada da função.
Passo 4
Calculando a derivada de f(x) = -x^3 :
f'(x) = ddx (-x^3) = -3x^2
Como x <= 0 , x^2 é sempre positivo ou zero. Multiplicando por -3, a derivada f'(x) sempre será menor ou igual a zero:
f'(x) = -3x^2 <= 0
Isso significa que a função está sempre decrescendo ou constante em seu domínio.
Passo 5
Como a derivada é sempre negativa (exceto talvez em pontos específicos onde pode ser zero), a função f(x) = -x^3 é decrescente para x <= 0 . Então, confirmamos que a função é monótona e, mais especificamente, decrescente.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada da função inversa de f(x) . Primeiro, precisamos achar a função inversa f^-1(y) .