Verifique se as funções a seguir são monótonas. Caso verdadeiro, classifique se crescente ou decrescente e calcule a derivada da função inversa.
f(x)=|x^3|, para x <= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função f(x) = |x^3| , definida para x <= 0 , é monótona. Se for, a gente classifica como crescente ou decrescente e ainda calcula a derivada da função inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser monótona, como determinar se ela é crescente ou decrescente, e como encontrar e derivar a função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função f(x) = |x^3| para x <= 0 . Sabemos que para números negativos ou zero, o valor absoluto de x^3 é igual a -x^3, já que x^3 será negativo. Então, podemos reescrever a função assim:
f(x) = -x^3, para x <= 0

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa função é monótona. Uma função é monótona se ela é sempre crescente ou sempre decrescente em seu domínio. Para descobrir isso, vamos analisar a derivada da função.

Passo 4

Calculando a derivada de f(x) = -x^3 :
f'(x) = ddx (-x^3) = -3x^2
Como x <= 0 , x^2 é sempre positivo ou zero. Multiplicando por -3, a derivada f'(x) sempre será menor ou igual a zero:
f'(x) = -3x^2 <= 0
Isso significa que a função está sempre decrescendo ou constante em seu domínio.

Passo 5

Como a derivada é sempre negativa (exceto talvez em pontos específicos onde pode ser zero), a função f(x) = -x^3 é decrescente para x <= 0 . Então, confirmamos que a função é monótona e, mais especificamente, decrescente.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada da função inversa de f(x) . Primeiro, precisamos achar a função inversa f^-1(y) .
Começamos com:
y = -x^3
Para encontrar x em termos de y :
x^3 = -y implies x = raiz[3]-y
Então, a função inversa é:
f^-1(y) = raiz[3]-y
Agora, vamos derivar f^-1(y) :
ddy f^-1(y) = ddy ( -y )^1/3 = 13 ( -y )^-2/3 cdot (-1) = 13 ( -y )^-2/3

Resposta

A função f(x) = |x^3| , para x <= 0 , é monótona e decrescente. A derivada da sua função inversa é:
ddy f^-1(y) = 13 ( -y )^-2/3

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