Calcule as derivadas parciais das seguintes funções. Apresente sua resposta na forma de um vetor gradiente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) = \left(x^{3} + 2x\right)(y - 1)^{1/2} $ e apresentar a resposta como um vetor gradiente. Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como formar o gradiente de uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. A derivada parcial em relação a $ x $ trata $ y $ como uma constante.
A função $ f(x, y) $ é o produto de duas funções: $ u(x) = x^{3} + 2x $ e $ v(y) = (y - 1)^{1/2} $. Para derivar esse produto em relação a $ x $, usamos a regra do produto, que diz:
Como $ v(y) $ é tratada como uma constante em relação a $ x $, sua derivada $ v’ $ em relação a $ x $ é zero. Portanto, a derivada parcial fica:
Calculando a derivada de $ u(x) $:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, $ x $ é tratado como uma constante.
Novamente, temos $ f(x, y) = u(x) \cdot v(y) $. Agora, vamos derivar em relação a $ y $. Usamos a regra do produto novamente:
Calculando a derivada de $ v(y) = (y - 1)^{1/2} $:
Para derivar $ (y - 1)^{1/2} $, usamos a regra da potência:
Então:
Podemos simplificar essa expressão:
Resposta
O vetor gradiente de $ f(x, y) $ é dado por: