Calcule as seguintes integrais:
integral1^2(2 x^2-2 x-6) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular integral1^2(2 x^2-2 x-6) dx. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente a integração de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração e como aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para integrar uma função polinomial como 2x^2 - 2x - 6, precisamos encontrar a antiderivada de cada termo. A antiderivada de uma função é outra função cuja derivada é a original.

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
  • A antiderivada de 2x^2 é 23x^3 porque ao integrar x^n obtemos x^n+1n+1.
  • A antiderivada de -2x é -x^2 seguindo a mesma regra.
  • A antiderivada de -6 é -6x, já que a integral de uma constante a é a x.

Passo 4

Juntando as antiderivadas, temos:
integral (2x^2 - 2x - 6) dx = 23x^3 - x^2 - 6x + C
Onde C é a constante de integração. Porém, como estamos calculando uma integral definida de 1 a 2, não precisamos nos preocupar com C.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2. Isso significa que vamos substituir x por 2 e por 1 na antiderivada e calcular a diferença:
[23(2)^3 - (2)^2 - 6(2)] - [23(1)^3 - (1)^2 - 6(1)]

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:
  • Para x = 2:
23(8) - 4 - 12 = 163 - 4 - 12 = 163 - 123 - 363 = 16 - 12 - 363 = -323
  • Para x = 1:
23(1) - 1 - 6 = 23 - 1 - 6 = 23 - 33 - 183 = 2 - 3 - 183 = -193

Passo 7

Agora, subtraímos os valores encontrados:
-323 - (-193) = -32 + 193 = -133

Resposta

A integral integral1^2(2 x^2-2 x-6) d x é igual a -133.

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