Calcule a terceira derivada, y^prime prime prime(x), das seguintes funções:
y(x)=(x^2-1)^3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a terceira derivada da função y(x) = (x^2 - 1)^3 . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções compostas. Para isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e a regra do produto para encontrar as derivadas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada y'(x) . Usando a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna:
y(x) = (x^2 - 1)^3
Derivando:
y'(x) = 3(x^2 - 1)^2 cdot ddx(x^2 - 1)
Calculando a derivada interna:
ddx(x^2 - 1) = 2x
Então:
y'(x) = 3(x^2 - 1)^2 cdot 2x = 6x(x^2 - 1)^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada y''(x) . Para isso, vamos derivar y'(x) = 6x(x^2 - 1)^2 usando a regra do produto:
y''(x) = 6 cdot ddx[ x(x^2 - 1)^2 ]
Aplicando a regra do produto:
ddx[ x(x^2 - 1)^2 ] = ddx(x) cdot (x^2 - 1)^2 + x cdot ddx((x^2 - 1)^2)
Calculando as derivadas:
ddx(x) = 1
ddx((x^2 - 1)^2) = 2(x^2 - 1) cdot 2x = 4x(x^2 - 1)
Substituindo de volta:
y''(x) = 6 [ 1 cdot (x^2 - 1)^2 + x cdot 4x(x^2 - 1) ]
y''(x) = 6 [ (x^2 - 1)^2 + 4x^2(x^2 - 1) ]
Fatorando (x^2 - 1) :
y''(x) = 6(x^2 - 1) [ (x^2 - 1) + 4x^2 ] = 6(x^2 - 1)(5x^2 - 1)

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a terceira derivada y'''(x) . Vamos derivar y''(x) = 6(x^2 - 1)(5x^2 - 1) usando novamente a regra do produto:
y'''(x) = 6 cdot ddx[ (x^2 - 1)(5x^2 - 1) ]
Aplicando a regra do produto:
ddx[ (x^2 - 1)(5x^2 - 1) ] = ddx(x^2 - 1) cdot (5x^2 - 1) + (x^2 - 1) cdot ddx(5x^2 - 1)
Calculando as derivadas:
ddx(x^2 - 1) = 2x
ddx(5x^2 - 1) = 10x
Substituindo de volta:
y'''(x) = 6 [ 2x(5x^2 - 1) + (x^2 - 1)10x ]
y'''(x) = 6 [ 10x^3 - 2x + 10x^3 - 10x ]
y'''(x) = 6 [ 20x^3 - 12x ]
y'''(x) = 120x^3 - 72x
Podemos fatorar para simplificar:
y'''(x) = 24x(5x^2 - 3)

Resposta

A terceira derivada da função é:
y'''(x) = 24x(5x^2 - 3)

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