Verifique se as funções a seguir são monótonas. Caso verdadeiro, classifique se crescente ou decrescente e calcule a derivada da função inversa.
f(x)=ln x^2, para x>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função f(x) = ln x^2 , definida para x > 0 , é monótona. Isso significa ver se ela está sempre subindo ou sempre descendo. Se for monótona, vamos dizer se está crescendo ou decrescendo e, de quebra, calcular a derivada da função inversa dessa função.

Passo 2

Primeiro, pra saber se a função é monótona, a gente precisa da derivada dela. A derivada nos mostra a taxa de variação da função. Se a derivada for sempre positiva, a função está crescendo; se for sempre negativa, está decrescendo.
Vamos calcular a derivada de f(x) = ln x^2 .
Lembrando que ln x^2 = 2 ln x , então:
f(x) = 2 ln x
Agora, derivando:
f'(x) = ddx(2 ln x) = 2 cdot 1x = 2x

Passo 3

Agora que temos f'(x) = 2x , vamos analisar o sinal dessa derivada para x > 0 :
  • Como x > 0 e 2 é positivo, 2x também é sempre positivo.
Isso significa que a função f(x) = ln x^2 está sempre crescendo nesse intervalo. Então, a função é monótona crescente.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da função inversa de f(x) . Primeiro, precisamos encontrar a inversa.
Temos y = f(x) = ln x^2 . Como x > 0 , podemos simplificar para y = 2 ln x .
Para achar a inversa, trocamos x e y :
x = 2 ln y
Resolvendo para y :
ln y = x2 y = e^x2
Então, a função inversa é f^-1(x) = e^x2 .
Agora, vamos derivar f^-1(x) :
ddxf^-1(x) = ddx ( e^x2 ) = e^x2 cdot 12 = 12 e^x2

Resposta

A função f(x) = ln x^2 é monótona crescente para x > 0 . A derivada da função inversa é ddxf^-1(x) = 12 e^x2 .

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