Verifique se as funções a seguir são monótonas. Caso verdadeiro, classifique se crescente ou decrescente e calcule a derivada da função inversa.
, para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função
, definida para
, é monótona. Isso significa ver se ela está sempre subindo ou sempre descendo. Se for monótona, vamos dizer se está crescendo ou decrescendo e, de quebra, calcular a derivada da função inversa dessa função.
Passo 2
Primeiro, pra saber se a função é monótona, a gente precisa da derivada dela. A derivada nos mostra a taxa de variação da função. Se a derivada for sempre positiva, a função está crescendo; se for sempre negativa, está decrescendo.
Vamos calcular a derivada de
.
Lembrando que
, então:
Agora, derivando:
Passo 3
Agora que temos
, vamos analisar o sinal dessa derivada para
:
- Como
e 2 é positivo, também é sempre positivo.
Isso significa que a função
está sempre crescendo nesse intervalo. Então, a função é monótona crescente.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada da função inversa de
. Primeiro, precisamos encontrar a inversa.
Temos
. Como
, podemos simplificar para
.
Para achar a inversa, trocamos
e
:
Resolvendo para
:
Então, a função inversa é
.
Agora, vamos derivar
:
Resposta
A função
é monótona crescente para
. A derivada da função inversa é
.