Calcule as derivadas parciais das seguintes funções.
f)
f)
Passo 1
Certo, a questão pede para calcular as derivadas parciais da função
. Vamos trabalhar com derivadas parciais, que fazem parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e lembrar como derivar funções trigonométricas e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia. A função
pode ser vista como a composição de
com
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, temos:
Passo 4
Agora, precisamos derivar
em relação a
. Sabemos que
. Derivando em relação a
, obtemos:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. O processo é semelhante ao que fizemos para
.
Passo 7
Derivando
em relação a
:
Passo 8
Derivando
em relação a
:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial de
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e