Utilizando o método de Frobenius, achar as soluções ao redor do ponto singular regular x 0 = 0 das seguintes EDOs: 2 x y'' + (1+x) y' + y = 0

Passo 1

Vamos resolver o exercício utilizando o método de Frobenius, que é uma técnica para encontrar soluções de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) em torno de pontos singulares regulares. Nosso objetivo aqui é encontrar as soluções da EDO dada:
Para isso, vamos precisar entender como aplicar o método de Frobenius, identificar o ponto singular e seguir os passos necessários para obter as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma EDO de segunda ordem:
Dividindo toda a equação original por , temos:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Verificamos se é um ponto singular regular. Para isso, devemos analisar os limites de e quando tende a 0:
Como esses limites são finitos, é um ponto singular regular, o que nos permite aplicar o método de Frobenius.

Passo 4

No método de Frobenius, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Onde é o expoente que será determinado pela chamada equação indicial.

Passo 5

Calculamos as derivadas necessárias para substituir na EDO:

Passo 6

Substituímos , e na EDO padrão:
Simplificando os termos, alinhar os poderes de para facilitar a identificação dos coeficientes.

Passo 7

Determinamos a equação indicial observando os termos de menor potência de , que geralmente vêm do primeiro termo da série. Após simplificar, obtemos:
As raízes da equação indicial são:

Passo 8

Com as raízes e , construímos duas soluções lineares independentes.
Para :
Substituímos na série e resolvemos recursivamente para os coeficientes .
Para :
Da mesma forma, substituímos na série e resolvemos para os coeficientes , garantindo a independência linear das soluções.

Resposta

As soluções da EDO ao redor do ponto singular regular utilizando o método de Frobenius são:
Onde e são os coeficientes determinados pelas relações de recorrência obtidas durante a resolução.

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