Utilizando o método de Frobenius, achar as soluções ao redor do ponto singular regular
das seguintes EDOs:
Passo 1
Vamos resolver o exercício utilizando o método de Frobenius, que é uma técnica para encontrar soluções de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) em torno de pontos singulares regulares. Nosso objetivo aqui é encontrar as soluções da EDO dada:
Para isso, vamos precisar entender como aplicar o método de Frobenius, identificar o ponto singular e seguir os passos necessários para obter as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma EDO de segunda ordem:
Dividindo toda a equação original por
, temos:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Verificamos se
é um ponto singular regular. Para isso, devemos analisar os limites de
e
quando
tende a 0:
Como esses limites são finitos,
é um ponto singular regular, o que nos permite aplicar o método de Frobenius.
Passo 4
No método de Frobenius, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Onde
é o expoente que será determinado pela chamada equação indicial.
Passo 5
Calculamos as derivadas necessárias para substituir na EDO:
Passo 6
Substituímos
,
e
na EDO padrão:
Simplificando os termos, alinhar os poderes de
para facilitar a identificação dos coeficientes.
Passo 7
Determinamos a equação indicial observando os termos de menor potência de
, que geralmente vêm do primeiro termo da série. Após simplificar, obtemos:
As raízes da equação indicial são:
Passo 8
Com as raízes
e
, construímos duas soluções lineares independentes.
Para
:
Substituímos
na série e resolvemos recursivamente para os coeficientes
.
Para
:
Da mesma forma, substituímos
na série e resolvemos para os coeficientes
, garantindo a independência linear das soluções.
Resposta
As soluções da EDO
ao redor do ponto singular regular
utilizando o método de Frobenius são:
Onde
e
são os coeficientes determinados pelas relações de recorrência obtidas durante a resolução.