Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

Resumo: queremos encontrar as derivadas parciais de
f(x,y)=\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}},
ou seja \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}.
Conteúdo necessário: conceito de derivada parcial (tratar a outra variável como constante) e regra do quociente.

Passo 2

Para \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante e escrevemos
f(x,y)=\frac{u(x,y)}{v(x,y)},
com u(x,y)=x\,y e v(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Calculamos
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x\,y)=y, \qquad v_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^{2}} =\frac{y\,(x^{2}+y^{2}) - (x\,y)\,(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y\,x^{2}+y^{3}-2x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y\,(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 3

Para \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante. Agora
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x\,y)=x, \qquad v_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y.
Novamente a regra do quociente dá
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^{2}} =\frac{x\,(x^{2}+y^{2}) - (x\,y)\,(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x\,x^{2}+x\,y^{2}-2x\,y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x\,(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y\,(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x\,(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}

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