Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=\frac{1}{e^{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=\frac{1}{e^{x^{2}+y^{2}}}
Isso envolve usar a regra da cadeia em funções exponenciais de duas variáveis.

Passo 2

Reescrevemos f de forma mais conveniente para diferenciar:
f(x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})}.
Aqui definimos internamente
g(x,y)=x^{2}+y^{2},
de modo que f(x,y)=e^{-\,g(x,y)}.

Passo 3

Calculamos primeiro as derivadas parciais de g.
\frac{\partial g}{\partial x}=2x, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=2y.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia em f(x,y)=e^{-g(x,y)}. Para a derivada em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{d}{d g}\bigl(e^{-g}\bigr)\cdot\frac{\partial g}{\partial x} =-e^{-g}\cdot(2x).
Substituindo g=x^{2}+y^{2}, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=-2x\,e^{-(x^{2}+y^{2})}.
Analogamente, para a derivada em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} =-e^{-g}\cdot(2y) =-2y\,e^{-(x^{2}+y^{2})}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-2x\,e^{-(x^{2}+y^{2})}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-2y\,e^{-(x^{2}+y^{2})}.

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