Usando o exercício anterior calcule u^{\prime}(t) e u^{\prime \prime}(t) nos casos abaixo
f(x, y)=e^{x y} \cos \left(x y^{2}\right), x(t)=\cos t, y(t)=\operatorname{sen} t.

Passo 1

O que temos é a função composta
u(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr)
com
f(x,y)=e^{x y}\cos\bigl(xy^2\bigr),\quad x(t)=\cos t,\quad y(t)=\sin t.
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia em várias variáveis:
u'(t)=f_x\,x'(t)+f_y\,y'(t),
u''(t) =f_{xx}\bigl(x'(t)\bigr)^2+2\,f_{xy}\,x'(t)y'(t)+f_{yy}\bigl(y'(t)\bigr)^2 +f_x\,x''(t)+f_y\,y''(t).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f. Defina
A=xy,\quad B=xy^2,\qquad f(x,y)=e^A\cos B.
Então, usando produto e cadeia,
f_x =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^A\cos B\bigr) =e^A\bigl(y\cos B\bigr) +e^A\bigl(-\sin B\bigr)\,(y^2) =e^A\bigl(y\cos B-y^2\sin B\bigr),
f_y =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^A\cos B\bigr) =e^A\bigl(x\cos B\bigr) +e^A\bigl(-\sin B\bigr)\,(2xy) =e^A\bigl(x\cos B-2xy\sin B\bigr).

Passo 3

Como x'(t)=-\sin t e y'(t)=\cos t, a primeira derivada é
u'(t) =f_x\,x'(t)+f_y\,y'(t) =e^A\bigl(y\cos B-y^2\sin B\bigr)(-\sin t) +e^A\bigl(x\cos B-2xy\sin B\bigr)(\cos t).
Substituindo x=\cos t, y=\sin t,
A=\cos t\sin t,\quad B=\cos t\sin^2 t,
ficamos com
u'(t) =e^{\cos t\sin t}\Bigl[ -\sin t\,( \sin t\cos B-\sin^2 t\sin B ) +\cos t\,( \cos t\cos B-2\cos t\sin t\sin B ) \Bigr].

Passo 4

Agora precisamos das segundas parciais e de x'', y''. Já temos
x''(t)=-\cos t,\quad y''(t)=-\sin t.
Das fórmulas de f_x e f_y obtemos, com conta direta,
f_{xx} =e^A\bigl(y^2\cos B-2y^3\sin B-y^4\cos B\bigr),
f_{xy} =e^A\bigl\{ x(y\cos B-y^2\sin B) +\cos B-2y\sin B -2xy^2\sin B -2xy^3\cos B \bigr\},
f_{yy} =e^A\bigl\{ x^2\cos B-4xy\sin B-2xy^2\cos B+4x y^3\sin B-y^2\cos B \bigr\}.

Passo 5

Aplicando a fórmula da segunda derivada composta,
u''(t) =f_{xx}(x')^2+2f_{xy}\,x'y'+f_{yy}(y')^2+f_x\,x''+f_y\,y'',
onde tudo é avaliado em x=\cos t,\;y=\sin t, x'=-\sin t,\;y'=\cos t,\;x''=-\cos t,\;y''=-\sin t.

Passo 6

Substituindo os valores de f_{xx},f_{xy},f_{yy},f_x,f_y e de x',y',x'',y'' em função de t, obtemos uma expressão explícita em termos de t, e^{\cos t\sin t}, \cos(\cos t\sin^2 t) e \sin(\cos t\sin^2 t).

Resposta

\boxed{ u'(t) =e^{\cos t\sin t}\Bigl[ -\sin t\bigl(\sin t\cos(\cos t\sin^2t)-\sin^2t\sin(\cos t\sin^2t)\bigr) +\cos t\bigl(\cos t\cos(\cos t\sin^2t)-2\cos t\sin t\sin(\cos t\sin^2t)\bigr) \Bigr]}
\boxed{ u''(t) =f_{xx}(t)\,(-\sin t)^2 +2\,f_{xy}(t)\,(-\sin t)(\cos t) +f_{yy}(t)\,(\cos t)^2 +f_x(t)\,(-\cos t) +f_y(t)\,(-\sin t), }
onde f_x,f_y,f_{xx},f_{xy},f_{yy} são avaliados em \bigl(x(t),y(t)\bigr)=(\cos t,\sin t) conforme calculados nos passos acima.

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