Usando o exercício anterior calcule u^{\prime}(t) e u^{\prime \prime}(t) nos casos abaixo
f(x, y)=x^{2}+y^{2}, x(t)=t, y(t)=t^{2}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de u(t)=f(x(t),y(t)) com f(x,y)=x^2+y^2, x(t)=t e y(t)=t^2. Vamos usar regra da cadeia, que diz que
u'(t)=f_x(x(t),y(t))\,x'(t)+f_y(x(t),y(t))\,y'(t).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f e as derivadas de x e y:
f_x(x,y)=2x,\quad f_y(x,y)=2y,
x'(t)=1,\quad y'(t)=2t.

Passo 3

Substituindo x(t)=t, y(t)=t^2, x'(t) e y'(t) na expressão de u'(t):
u'(t)=2t\cdot1+2\,t^2\cdot2t=2t+4t^3.

Passo 4

Para obter u''(t), derivamos u'(t):
u''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2t+4t^3\bigr)=2+12t^2.

Resposta

u'(t)=2t+4t^3
u''(t)=2+12t^2

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