Usando o exercício anterior calcule u^{\prime}(t) e u^{\prime \prime}(t) nos casos abaixo
f(x, y)=\ln \left(\frac{1+e^{x^{2}}}{1+e^{y^{2}}}\right), x(t)=e^{t}, y(t)=e^{-t}.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos \displaystyle u(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr) com
f(x,y)=\ln\!\Bigl(\frac{1+e^{x^{2}}}{1+e^{y^{2}}}\Bigr), \quad x(t)=e^{t},\quad y(t)=e^{-t},
e então calcular \,u'(t) e \,u''(t).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para derivadas de funções de duas variáveis e, no caso de u''(t), também a regra do produto.

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais de f. Escrevendo
f(x,y)=\ln\bigl(1+e^{x^{2}}\bigr)\;-\;\ln\bigl(1+e^{y^{2}}\bigr),
temos
f_{x}(x,y) =\frac{1}{1+e^{x^{2}}}\cdot e^{x^{2}}\cdot 2x =\frac{2x\,e^{x^{2}}}{1+e^{x^{2}}},
f_{y}(x,y) =-\frac{1}{1+e^{y^{2}}}\cdot e^{y^{2}}\cdot 2y =-\frac{2y\,e^{y^{2}}}{1+e^{y^{2}}}.

Passo 3

Pela regra da cadeia para u'(t) temos
u'(t) =f_{x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t) \;+\; f_{y}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t).
Como x'(t)=e^{t} e y'(t)=-e^{-t}, e substituindo x=e^{t}, y=e^{-t},
u'(t) =\frac{2\,e^{t}e^{(e^{t})^{2}}}{1+e^{(e^{t})^{2}}}\;e^{t} \;+\; \Bigl(-\frac{2\,e^{-t}e^{(e^{-t})^{2}}}{1+e^{(e^{-t})^{2}}}\Bigr)\;(-e^{-t}),
que simplifica para
u'(t) =\frac{2\,e^{2t}e^{e^{2t}}}{1+e^{e^{2t}}} \;+\; \frac{2\,e^{-2t}e^{e^{-2t}}}{1+e^{e^{-2t}}}.

Passo 4

Para u''(t) diferenciamos cada termo de u'(t) usando produto e cadeia. Se definirmos
A(t)=\frac{2\,e^{2t}e^{e^{2t}}}{1+e^{e^{2t}}},\quad B(t)=\frac{2\,e^{-2t}e^{e^{-2t}}}{1+e^{e^{-2t}}},
então
u''(t)=A'(t)+B'(t).
Calculando A'(t) por produto e cadeia resulta
A'(t) =4\,\frac{e^{2t}e^{e^{2t}}}{1+e^{e^{2t}}} \;+\; 4\,\frac{e^{4t}e^{e^{2t}}}{\bigl(1+e^{e^{2t}}\bigr)^{2}},
e analogamente para B'(t)
B'(t) =-4\,\frac{e^{-2t}e^{e^{-2t}}}{1+e^{e^{-2t}}} \;-\; 4\,\frac{e^{-4t}e^{e^{-2t}}}{\bigl(1+e^{e^{-2t}}\bigr)^{2}}.
Somando, obtemos a expressão final para u''(t).

Resposta

u’(t)
u'(t) =\frac{2\,e^{2t}e^{e^{2t}}}{1+e^{e^{2t}}} \;+\; \frac{2\,e^{-2t}e^{e^{-2t}}}{1+e^{e^{-2t}}}.
u’’(t)
u''(t) =4\Bigl(\frac{e^{2t}e^{e^{2t}}}{1+e^{e^{2t}}} +\frac{e^{4t}e^{e^{2t}}}{\bigl(1+e^{e^{2t}}\bigr)^{2}} -\frac{e^{-2t}e^{e^{-2t}}}{1+e^{e^{-2t}}} -\frac{e^{-4t}e^{e^{-2t}}}{\bigl(1+e^{e^{-2t}}\bigr)^{2}}\Bigr).

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