Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: w=ln (x^2 y^3 z^4)

Passo 1

A função dada é w = lnl(x^2 y^3 z^4r). O conteúdo envolvido é derivada parcial de funções logarítmicas, e vamos precisar usar as propriedades do logaritmo (produto e potência) e a regra da derivada de ln(u).

Passo 2

Usando a propriedade do logaritmo para produto e potência, reescrevemos w de forma mais simples:
w = ln(x^2) + ln(y^3) + ln(z^4) e em seguida aplicamos ln(a^k)=kln(a):
w = 2ln(x) + 3ln(y) + 4ln(z)

Passo 3

Agora calculamos cada derivada parcial usando a regra dduln(u)=1u. Para x, tratamos y e z como constantes:
partial wpartial x = 2cdot1x = 2x

Passo 4

Para y, tratamos x e z como constantes:
partial wpartial y = 3cdot1y = 3y

Passo 5

Para z, tratamos x e y como constantes:
partial wpartial z = 4cdot1z = 4z

Resposta

partial wpartial x = 2x, partial wpartial y = 3y, partial wpartial z = 4z

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