Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente no estudo de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar derivadas parciais de primeira ordem e, depois, derivar novamente para obter as de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
, que chamaremos de
. A derivada parcial em relação a
significa que tratamos
como uma constante enquanto diferenciamos em relação a
.
A função é
. Podemos reescrever isso como
.
Usando a regra da cadeia, a derivada de
é
.
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Temos
.
Podemos reescrever
como
.
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Temos
.
Tratando
como constante, aplicamos a derivada em relação a
:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
, e depois derivar novamente para obter
.
Primeiro, encontramos
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: