Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função:
f(x, y)=raizx^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y) = raizx^2 - y^2 . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente no estudo de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar derivadas parciais de primeira ordem e, depois, derivar novamente para obter as de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a x , que chamaremos de fx . A derivada parcial em relação a x significa que tratamos y como uma constante enquanto diferenciamos em relação a x .
A função é f(x, y) = raizx^2 - y^2 . Podemos reescrever isso como f(x, y) = (x^2 - y^2)^1/2 .
Usando a regra da cadeia, a derivada de (g(x))^n é n cdot (g(x))^n-1 cdot g'(x) .
Então,
fx = 12(x^2 - y^2)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2 - y^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de fx em relação a x , ou seja, fxx .
Temos fx = xraizx^2 - y^2 .
Podemos reescrever fx como x(x^2 - y^2)^-1/2 .
Aplicando a regra do produto:
fxx = ddx [ x cdot (x^2 - y^2)^-1/2 ] = (x^2 - y^2)^-1/2 + x cdot ( -12 )(x^2 - y^2)^-3/2 cdot 2x
Simplificando:
fxx = 1raizx^2 - y^2 - x^2(x^2 - y^2)^3/2 = (x^2 - y^2) - x^2(x^2 - y^2)^3/2 = -y^2(x^2 - y^2)^3/2

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de fx em relação a y , ou seja, fxy .
Temos fx = xraizx^2 - y^2 .
Tratando x como constante, aplicamos a derivada em relação a y :
fxy = x cdot ddy ( x^2 - y^2 )^-1/2 = x cdot ( -12 )(x^2 - y^2)^-3/2 cdot (-2y) = xy(x^2 - y^2)^3/2

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y , que chamaremos de fy , e depois derivar novamente para obter fyy .
Primeiro, encontramos fy :
fy = ddy raizx^2 - y^2 = 12(x^2 - y^2)^-1/2 cdot (-2y) = -yraizx^2 - y^2
Agora, derivamos fy em relação a y :
fyy = ddy ( -yraizx^2 - y^2 ) = -( 1raizx^2 - y^2 + y cdot ( -12 )(x^2 - y^2)^-3/2 cdot (-2y) )
Simplificando:
fyy = -1raizx^2 - y^2 - y^2(x^2 - y^2)^3/2 = -(x^2 - y^2) + y^2(x^2 - y^2)^3/2 = -x^2(x^2 - y^2)^3/2

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y) = raizx^2 - y^2 são:
fxx = -y^2 (x^2 - y^2)^3/2
fxy = fyx = xy (x^2 - y^2)^3/2
fyy = -x^2 (x^2 - y^2)^3/2

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