Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função:
f(x, y)=e^x y^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y) = e^x y^2 . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e depois aplicar esse conhecimento para encontrar as segundas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a x . Quando derivamos uma função em relação a x , tratamos y como se fosse uma constante.
A função é f(x, y) = e^x y^2 .
A derivada de e^u em relação a u é e^u , então aplicando a regra da cadeia:
partial fpartial x = e^x y^2 cdot partialpartial x(x y^2) = e^x y^2 cdot y^2
Ou seja,
fx = y^2 e^x y^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a x , ou seja, fxx . Isso significa que vamos derivar fx novamente em relação a x .
Temos fx = y^2 e^x y^2 .
Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
fxx = y^2 cdot e^x y^2 cdot y^2 = y^4 e^x y^2
Então,
fxx = y^4 e^x y^2

Passo 4

Vamos agora calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, fy .
A função é f(x, y) = e^x y^2 .
Aplicando a regra da cadeia:
partial fpartial y = e^x y^2 cdot partialpartial y(x y^2) = e^x y^2 cdot 2x y
Portanto,
fy = 2x y e^x y^2

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial mista, ou seja, fxy . Isso significa que vamos derivar fx em relação a y .
Temos fx = y^2 e^x y^2 .
Usamos a regra do produto:
fxy = partialpartial y(y^2) cdot e^x y^2 + y^2 cdot partialpartial y(e^x y^2)
Calculando cada parte:
partialpartial y(y^2) = 2y
partialpartial y(e^x y^2) = e^x y^2 cdot 2x y
Então,
fxy = 2y e^x y^2 + y^2 cdot 2x y e^x y^2 = 2y e^x y^2 (1 + x y^2)

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a y , ou seja, fyy .
Temos fy = 2x y e^x y^2 .
Usamos a regra do produto novamente:
fyy = 2x cdot partialpartial y(y) cdot e^x y^2 + 2x y cdot partialpartial y(e^x y^2)
Calculando cada parte:
partialpartial y(y) = 1
partialpartial y(e^x y^2) = e^x y^2 cdot 2x y
Portanto,
fyy = 2x e^x y^2 + 2x y cdot 2x y e^x y^2 = 2x e^x y^2 (1 + 2x y^2)

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:
fxx = y^4 e^x y^2
fxy = fyx = 2y e^x y^2 (1 + x y^2)
fyy = 2x e^x y^2 (1 + 2x y^2)

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