Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e depois aplicar esse conhecimento para encontrar as segundas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
. Quando derivamos uma função em relação a
, tratamos
como se fosse uma constante.
A função é
.
A derivada de
em relação a
é
, então aplicando a regra da cadeia:
Ou seja,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Isso significa que vamos derivar
novamente em relação a
.
Temos
.
Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Então,
Passo 4
Vamos agora calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
.
Aplicando a regra da cadeia:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial mista, ou seja,
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
.
Temos
.
Usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então,
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Temos
.
Usamos a regra do produto novamente:
Calculando cada parte:
Portanto,
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função são: