Determine o conjunto S dos sistemas de desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
l2 x-51-x <=-2 x^2+x+3x+1>x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o conjunto solução SsubsetR do sistema
2x-51-x<= -2,[6pt] x^2+x+3x+1>x
Aqui vamos aplicar métodos de inequações fracionárias: determinar domínio, estudar o sinal do denominador e agrupar os resultados.]

Passo 2

Resolvendo 2x-51-x<= -2.
Domínio: 1-xneq0implies xneq1.
Estude o sinal de 1-x:
  • Se x<1, então 1-x>0 e podemos multiplicar sem mudar o sinal: 2x-5<= -2(1-x) ;Longrightarrow; 2x-5<= -2+2x ;Longrightarrow; -5<= -2, que é sempre verdadeiro. Logo toda x<1 satisfaz a desigualdade.
  • Se x>1, então 1-x<0 e ao multiplicar invertemos o sinal: 2x-5>= -2(1-x) ;Longrightarrow; 2x-5>= -2+2x ;Longrightarrow; -5>= -2, que é sempre falso. Portanto não há solução para x>1.
Conclusão da primeira:
2x-51-x<= -2 Longrightarrow x<1

Passo 3

Resolvendo x^2+x+3x+1>x.
Domínio: x+1neq0implies xneq -1.
Subtraindo x dos dois lados e reduzindo ao mesmo denominador:
x^2+x+3x+1-x =x^2+x+3 - x(x+1)x+1 =3x+1 >0
Isso ocorre exatamente quando x+1>0, ou seja x>-1.
Conclusão da segunda:
x^2+x+3x+1>x Longrightarrow x>-1

Passo 4

O sistema exige simultaneamente x<1 e x>-1. Como ambos excluem os pontos de indeterminação ( xneq1, xneq-1), a solução é a interseção dos intervalos:
(-infty,1);cap;(-1,infty) =(-1,1)

Resposta

S = (-1,1)

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