Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y)=e^{2 x} \operatorname{sen}\left(x^{3}\right)+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=e^{2x}\sin\bigl(x^{3}\bigr)+y^{2}.
O conteúdo envolvido é derivação parcial, aplicando regra do produto e regra da cadeia para a parte em x, e derivada simples em y.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a x. Chamando
u(x)=e^{2x},\quad v(x)=\sin\bigl(x^{3}\bigr),
temos
f_x = u'\,v + u\,v' = 2e^{2x}\sin\bigl(x^{3}\bigr) + e^{2x}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\cdot 3x^{2}.
Logo,
f_x = e^{2x}\bigl(2\sin(x^{3}) + 3x^{2}\cos(x^{3})\bigr).

Passo 3

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a y. Como só aparece y^{2},
f_y = 2y.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de segunda ordem \displaystyle f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_x).
f_x = e^{2x}\bigl(2\sin(x^{3}) + 3x^{2}\cos(x^{3})\bigr).
Aplicando produto e cadeia:
f_{xx} =2e^{2x}\bigl(2\sin(x^{3})+3x^{2}\cos(x^{3})\bigr) +e^{2x}\bigl(6x^{2}\cos(x^{3}) +6x\cos(x^{3})-9x^{4}\sin(x^{3})\bigr).
Agrupando termos,
f_{xx} = e^{2x}\bigl[(4-9x^{4})\sin(x^{3}) + (12x^{2}+6x)\cos(x^{3})\bigr].

Passo 5

Calcular as derivadas mistas \displaystyle f_{xy} e \displaystyle f_{yx}.
Como f_x não depende de y e f_y não depende de x,
f_{xy} = 0, \quad f_{yx} = 0.

Passo 6

Calcular a derivada parcial de segunda ordem em relação a y:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(2y)=2.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = e^{2x}\bigl[(4-9x^{4})\sin(x^{3}) + (12x^{2}+6x)\cos(x^{3})\bigr] \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=0 \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2

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