Considere a esfera unitária descrita por
X(u, v)=(\operatorname{sen} v \cos u, \operatorname{sen} v \operatorname{sen} u, \cos v), u \in \mathbf{R}, 0<v<\pi,
e a curva \alpha(t)=X(u(t), v(t)), onde u(t)=\log \cot \left(\frac{\pi}{4}-\frac{t}{2}\right), v(t)= \frac{\pi}{2}-t, \frac{-\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}.
a) Calcule o comprimento da curva \alpha(t).
b) Considere os paralelos X\left(u, v_{0}\right), onde v_{0} é uma constante. Verifique que a curva \alpha intercepta os paralelos formando um ângulo constante.

Passo 1

O enunciado nos dá a esfera unitária parametrizada por
X(u,v) = (\sin v\cos u,\;\sin v\sin u,\;\cos v),
e uma curva \alpha(t)=X(u(t),v(t)) com
u(t)=\ln\cot\Bigl(\tfrac\pi4-\tfrac t2\Bigr), \quad v(t)=\tfrac\pi2 - t, \quad -\tfrac\pi2<t<\tfrac\pi2.
Pede-se (a) o comprimento de \alpha e (b) mostrar que o ângulo entre \alpha e os paralelos v=v_0 é constante.

Passo 2

Para achar o comprimento precisamos do vetor tangente
\alpha'(t)=u'(t)\,X_u+v'(t)\,X_v
e da primeira forma fundamental na parametrização (u,v) da esfera:
E=\langle X_u,X_u\rangle=\sin^2v, \quad F=\langle X_u,X_v\rangle=0, \quad G=\langle X_v,X_v\rangle=1.
Logo
\|\alpha'(t)\| =\sqrt{E\,(u')^2+2F\,u'v'+G\,(v')^2} =\sqrt{\sin^2v\,(u')^2+(v')^2}.

Passo 3

Derivando u(t) e v(t): se A(t)=\tfrac\pi4-\tfrac t2 então
u'(t) =\frac{d}{dt}\ln\bigl(\cot A\bigr) =\frac{1}{\cot A}\cdot\bigl(-\csc^2A\cdot A'\bigr) =\frac{1}{\cot A}\cdot\frac{\csc^2A}{2} =\frac{1}{2\sin A\cos A} =\frac{1}{\sin(2A)}.
Mas 2A=\pi/2 -t=v(t), logo
u'(t)=\frac1{\sin v(t)}.
E claramente
v'(t)=-1.

Passo 4

Substituindo em \|\alpha'(t)\|:
\|\alpha'(t)\| =\sqrt{\sin^2v\;\frac1{\sin^2v}+(-1)^2} =\sqrt{1+1} =\sqrt2.
Como \|\alpha'\| é constante, o comprimento é
L=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\|\alpha'(t)\|\,dt =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt2\,dt =\pi\sqrt2.

Passo 5

Para o ângulo \varphi entre \alpha' e o paralelo v=\text{const} note que o vetor tangente ao paralelo é X_u. Usamos
\cos\varphi =\frac{\langle\alpha',X_u\rangle}{\|\alpha'\|\;\|X_u\|} =\frac{u'\,\langle X_u,X_u\rangle}{\|\alpha'\|\;\sqrt{E}} =\frac{u'\,\sin^2v}{\sqrt2\;\sin v} =\frac{u'\,\sin v}{\sqrt2}.
Como u'=\tfrac1{\sin v}, vem
\cos\varphi=\frac1{\sqrt2},
ou seja \varphi=\pi/4 em todo ponto. Isso mostra que o ângulo é constante.

Resposta

a) O comprimento da curva é L=\pi\sqrt2.
b) O ângulo entre \alpha e qualquer paralelo é \varphi=\pi/4, constante.

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