Considere a esfera unitária descrita por
e a curva
, onde
.
a) Calcule o comprimento da curva
.
b) Considere os paralelos
, onde
é uma constante. Verifique que a curva
intercepta os paralelos formando um ângulo constante.
a) Calcule o comprimento da curva
b) Considere os paralelos
Passo 1
O enunciado nos dá a esfera unitária parametrizada por
e uma curva
com
Pede-se (a) o comprimento de
e (b) mostrar que o ângulo entre
e os paralelos
é constante.
Passo 2
Para achar o comprimento precisamos do vetor tangente
e da primeira forma fundamental na parametrização
da esfera:
Logo
Passo 3
Derivando
e
: se
então
Mas
, logo
E claramente
Passo 4
Substituindo em
:
Como
é constante, o comprimento é
Passo 5
Para o ângulo
entre
e o paralelo
note que o vetor tangente ao paralelo é
. Usamos
Como
, vem
ou seja
em todo ponto. Isso mostra que o ângulo é constante.
Resposta
a) O comprimento da curva é
.
b) O ângulo entre e qualquer paralelo é
, constante.
b) O ângulo entre