Determine o que é pedido em cada item.
Dada z=\ln \left(\frac{y}{x}\right), x=\cos \left(t^{3}\right), y=\operatorname{sen}(4 t), determine \frac{d z}{d t} usando a regra da cadeia.

Passo 1

O enunciado define
z = \ln\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr), \quad x = \cos\bigl(t^{3}\bigr), \quad y = \sin(4t),
e pede \frac{dz}{dt} usando a regra da cadeia.
Para isso vamos usar que
  1. a derivada de \ln(u) em relação a t é \frac{1}{u}\,\frac{du}{dt},
  2. e que \ln\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=\ln(y)-\ln(x).

Passo 2

Reescrevendo
z = \ln(y) - \ln(x),
aplicamos derivada em cada termo:
\frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl[\ln(y)\bigr] \;-\;\frac{d}{dt}\bigl[\ln(x)\bigr] = \frac{y'}{y} \;-\;\frac{x'}{x}.

Passo 3

Calculamos agora y' e x'.
Para y = \sin(4t):
y' = \frac{d}{dt}\sin(4t) = 4\cos(4t).
Para x = \cos(t^{3}):
x' = \frac{d}{dt}\cos(t^{3}) = -\sin(t^{3})\cdot\frac{d}{dt}(t^{3}) = -3t^{2}\,\sin(t^{3}).

Passo 4

Substituindo em \frac{dz}{dt} = \frac{y'}{y}-\frac{x'}{x}:
\frac{dz}{dt} = \frac{4\cos(4t)}{\sin(4t)} \;-\;\frac{-3t^{2}\sin(t^{3})}{\cos(t^{3})} = 4\cot(4t) + 3t^{2}\tan\bigl(t^{3}\bigr).

Resposta

\frac{dz}{dt} = 4\cot(4t) \;+\; 3t^{2}\,\tan\bigl(t^{3}\bigr).

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