Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
g(x, y)=x+ln (y^2+y);

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
g(x,y)=x+lnl(y^2+yr)
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais em funções de duas variáveis, usando a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro obtemos as derivadas parciais de primeira ordem.
Em relação a x, como x aparece linearmente,
partial gpartial x=1
Em relação a y, aplicamos ddyln(u)=u'/u com u(y)=y^2+y,
partial gpartial y =2y+1y^2+y

Passo 3

Agora derivamos novamente em relação a x.
partial^2gpartial x^2 =partialpartial xl(tfracpartial gpartial xr) =partialpartial x(1)=0
E como partial g/partial x não depende de y,
partial^2gpartial x,partial y =partialpartial y(1)=0, partial^2gpartial y,partial x =partialpartial xl(2y+1y^2+yr)=0

Passo 4

Por fim, derivamos partial g/partial y novamente em relação a y.
Use a regra do quociente com
u=2y+1, u'=2, v=y^2+y, v'=2y+1
Então
partial^2gpartial y^2 =u'v - u,v'v^2 =2(y^2+y)-(2y+1)^2(y^2+y)^2 =-2y^2+2y+1(y^2+y)^2

Passo 5

Reunindo os resultados, temos as quatro derivadas parciais de segunda ordem.

Resposta

partial^2gpartial x^2=0, partial^2gpartial x,partial y=0, partial^2gpartial y,partial x=0, partial^2gpartial y^2 =-2y^2+2y+1(y^2+y)^2

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