Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y)=\ln \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=\ln\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr).
O conteúdo principal é derivação parcial em duas variáveis, usando a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos primeiro simplificar a função e depois obter as derivadas de primeira ordem para, em seguida, calcular as de segunda ordem.

Passo 2

Reescrevemos
f(x,y)=\ln\bigl((x^2+y^2)^{1/2}\bigr)=\tfrac12\ln(x^2+y^2).
Aplicando a derivada de \ln e a regra da cadeia, obtemos as derivadas de primeira ordem:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac12\ln(x^2+y^2)\Bigr) =\tfrac12\cdot\frac{1}{x^2+y^2}\cdot 2x =\frac{x}{x^2+y^2},
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac12\ln(x^2+y^2)\Bigr) =\tfrac12\cdot\frac{1}{x^2+y^2}\cdot 2y =\frac{y}{x^2+y^2}.

Passo 3

Agora calculamos \,f_{xx} e f_{xy}. Para
f_x=\frac{x}{x^2+y^2},
usamos a regra do quociente:
f_{xx} =\frac{(1)(x^2+y^2)-x(2x)}{(x^2+y^2)^2} =\frac{x^2+y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2} =\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2},
f_{xy} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{x^2+y^2}\Bigr) =\frac{0\cdot(x^2+y^2)-x\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} =-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 4

Por fim, calculamos f_{yy}. Para
f_y=\frac{y}{x^2+y^2},
novamente pela regra do quociente:
f_{yy} =\frac{(1)(x^2+y^2)-y(2y)}{(x^2+y^2)^2} =\frac{x^2+y^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2} =\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}.

Resposta

f_{xx}=\displaystyle\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}, f_{xy}=\displaystyle -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}, f_{yy}=\displaystyle\frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}.

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