Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y)=2 x^{3} e^{5 y}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=2x^{3}e^{5y}.
O conteúdo é derivadas parciais; vamos primeiro achar as derivadas de primeira ordem e, em seguida, derivar de novo.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
– Para \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante:
\frac{\partial f}{\partial x} =2\cdot3x^{2}e^{5y} =6x^{2}e^{5y}.
– Para \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante e aplicamos a regra da cadeia em e^{5y}:
\frac{\partial f}{\partial y} =2x^{3}\cdot5e^{5y} =10x^{3}e^{5y}.

Passo 3

Calcular a derivada de segunda ordem \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} derivando \frac{\partial f}{\partial x}=6x^{2}e^{5y} em relação a x:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =6\cdot2x\,e^{5y} =12x\,e^{5y}.

Passo 4

Calcular as derivadas mistas:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} derivando \frac{\partial f}{\partial x}=6x^{2}e^{5y} em relação a y:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} =6x^{2}\cdot5e^{5y} =30x^{2}e^{5y}.
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} derivando \frac{\partial f}{\partial y}=10x^{3}e^{5y} em relação a x:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} =10\cdot3x^{2}e^{5y} =30x^{2}e^{5y},
o que confirma a igualdade \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}.

Passo 5

Calcular \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} derivando \frac{\partial f}{\partial y}=10x^{3}e^{5y} em relação a y:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =10x^{3}\cdot5e^{5y} =50x^{3}e^{5y}.

Resposta

\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = 12x\,e^{5y}
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} = 30x^{2}e^{5y}
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} = 30x^{2}e^{5y}
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = 50x^{3}e^{5y}

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