Demonstrar por indução matemática:
2 \mid\left(3^{n}-1\right), \forall n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que
2 \mid \bigl(3^{n}-1\bigr)
para todo n\in\mathbb{N}.
O conteúdo é prova por indução em aritmética de divisibilidade.

Passo 2

Base da indução n=1.
Calculamos
3^{1}-1 = 3-1 = 2,
e de fato 2\mid 2. Portanto a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que, para algum k\in\mathbb{N}, já seja verdade que
2 \mid \bigl(3^{k}-1\bigr),
isto é, existe um inteiro m tal que
3^{k}-1 = 2m.
Devemos mostrar que 2\mid(3^{k+1}-1). Começamos por manipular 3^{k+1}-1:
3^{k+1}-1 = 3\cdot 3^{k} - 1 = 3\bigl(3^{k}-1\bigr) + 2.
Pela hipótese indutiva temos 3^{k}-1=2m, então
3^{k+1}-1 = 3\cdot(2m) + 2 = 6m + 2 = 2\,(3m+1).
Como 3m+1 é inteiro, concluímos que 2\mid(3^{k+1}-1).

Resposta

Portanto, por indução matemática, 2 divide 3^{n}-1 para todo n\in\mathbb{N}.

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