Sejam n, r e s inteiros tais que 0 \leq r<n e 0 \leq s<n. Mostrar que, se n \mid(r-s), então r=s.

Passo 1

O enunciado afirma que n, r e s são inteiros com
0 \le r < n \quad\text{e}\quad 0 \le s < n
e pede para mostrar que, se n divide r - s, então necessariamente r = s.
Vamos usar a definição de divisibilidade e uma estimativa do valor de r - s.

Passo 2

Como n\mid (r-s), existe um inteiro k tal que
r - s = k\,n.

Passo 3

Dos limites em r e s temos
0 \le r \le n-1 \quad\text{e}\quad 0 \le s \le n-1.
Subtraindo as duas desigualdades, obtemos
-(n-1)\le r-s\le n-1.

Passo 4

Da igualdade r - s = k\,n e da desigualdade anterior segue
|k\,n| \le n-1.
Como n>0, podemos dividir por n e obter
|k| \le \frac{n-1}{n} < 1.
O único inteiro k que satisfaz |k|<1 é k=0. Logo r-s=0.

Resposta

Portanto r=s.

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