A involuta de uma circunferência é a curva traçada pelo ponto de extremidade de um fio quando este, mantido tenso, é desenrolado de um carretel fixo. Suponha que o centro do carretel esta colocado da origem do plano x y e seu raio é a, e que o fio começa a se desenrolar no ponto A=(a, 0). Mostre que as equações paramétricas da involuta, ao desenrolar uma volta do fio no carretel são:
x(theta)=a(cos theta+theta sin theta) e y(theta)=a(sin theta-theta cos theta), 0 <= theta <= 2 pi,
além disso esboce a involuta do círculo.

Passo 1

O enunciado define a involuta de uma circunferência de raio a com centro na origem, obtida ao manter tenso um fio que desenrola a partir de A=(a,0). Nosso objetivo é expressar a posição do ponto extremo do fio em função do ângulo theta de desenrolar, variando de 0 a 2pi, e esboçar a curva resultante. Vamos usar coordenadas polares, vetor tangente unitário e cálculo de comprimento de arco.

Passo 2

Quando o fio desenrolou o ângulo theta, o ponto de contato no círculo de raio a é
P(theta) = l(acostheta,;asinthetar)
O fio se estende na direção da tangente à circunferência em P(theta). Um vetor tangente unitário, orientado como o fio se desalinha, é
T(theta) = l(sintheta,;-,costhetar)

Passo 3

O comprimento do fio desenrolado equivale ao comprimento do arco correspondente, isto é
s(theta) = a,theta, 0<=theta<=2pi

Passo 4

A posição da involuta é
l(x(theta),,y(theta)r) = P(theta) + s(theta),T(theta)
Substituindo, obtemos
x(theta) = acostheta + athetasintheta = al(costheta + thetasinthetar),
y(theta) = asintheta - athetacostheta = al(sintheta - thetacosthetar)

Passo 5

Para esboçar a involuta, note que em theta=0 temos (x,y)=(a,0). Conforme theta aumenta, o ponto descreve uma volta ao redor do círculo, afastando-se dele de modo quase linear em theta, produzindo uma curva em forma de “espiral arredondada” que sai tangente ao círculo e se afasta à medida que completa a volta.

Resposta

As equações paramétricas da involuta do círculo de raio a (para 0<=theta<=2pi) são:
x(theta)=al(costheta+thetasinthetar)
y(theta)=al(sintheta-thetacosthetar)
O esboço é uma curva que parte de (a,0), envolve o círculo uma vez e se afasta dele formando um traçado semelhante a uma espiral crescente.

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