A involuta de uma circunferência é a curva traçada pelo ponto de extremidade de um fio quando este, mantido tenso, é desenrolado de um carretel fixo. Suponha que o centro do carretel esta colocado da origem do plano
e seu raio é
, e que o fio começa a se desenrolar no ponto
. Mostre que as equações paramétricas da involuta, ao desenrolar uma volta do fio no carretel são:
além disso esboce a involuta do círculo.
Passo 1
O enunciado define a involuta de uma circunferência de raio
com centro na origem, obtida ao manter tenso um fio que desenrola a partir de
. Nosso objetivo é expressar a posição do ponto extremo do fio em função do ângulo
de desenrolar, variando de
a
, e esboçar a curva resultante. Vamos usar coordenadas polares, vetor tangente unitário e cálculo de comprimento de arco.
Passo 2
Quando o fio desenrolou o ângulo
, o ponto de contato no círculo de raio
é
O fio se estende na direção da tangente à circunferência em
. Um vetor tangente unitário, orientado como o fio se desalinha, é
Passo 3
O comprimento do fio desenrolado equivale ao comprimento do arco correspondente, isto é
Passo 4
A posição da involuta é
Substituindo, obtemos
Passo 5
Para esboçar a involuta, note que em
temos
. Conforme
aumenta, o ponto descreve uma volta ao redor do círculo, afastando-se dele de modo quase linear em
, produzindo uma curva em forma de “espiral arredondada” que sai tangente ao círculo e se afasta à medida que completa a volta.
Resposta
As equações paramétricas da involuta do círculo de raio
(para
) são:
O esboço é uma curva que parte de
, envolve o círculo uma vez e se afasta dele formando um traçado semelhante a uma espiral crescente.