Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de:
Passo 1
O enunciado pede calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
. O conteúdo da matéria é derivadas parciais de segunda ordem, e vamos precisar usar derivada parcial, regra da cadeia e, em alguns casos, regra do produto.
Passo 2
Para começar, definimos
e aplicamos a regra da cadeia para achar as derivadas parciais de primeira ordem. As derivadas parciais de primeira ordem são:
Passo 3
Agora calculamos a derivada parcial segunda em relação a
. Usamos regra do produto em
e regra da cadeia para a parte exponencial. A derivada
fica:
Passo 4
De modo análogo, para
calculamos a derivada parcial segunda em relação a
a partir de
:
Passo 5
Por fim, para
derivamos
em relação a
(ou
em relação a
), usando regra da cadeia na exponencial:
Resposta
z_{xx} = (2 + 4x2)e{x2+y2}, z_{yy} = (2 + 4y2)e{x2+y2}, z_{xy} = z_{yx} = 4xy e{x2+y^2}