Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de:
z=e^x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função z = e^x^2 + y^2. O conteúdo da matéria é derivadas parciais de segunda ordem, e vamos precisar usar derivada parcial, regra da cadeia e, em alguns casos, regra do produto.

Passo 2

Para começar, definimos u = x^2 + y^2 e aplicamos a regra da cadeia para achar as derivadas parciais de primeira ordem. As derivadas parciais de primeira ordem são:
zx = partialpartial xe^x^2+y^2 = 2x,e^x^2+y^2,
zy = partialpartial ye^x^2+y^2 = 2y,e^x^2+y^2

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial segunda em relação a x. Usamos regra do produto em zx = 2x e^x^2+y^2 e regra da cadeia para a parte exponencial. A derivada zxx fica:
zxx = partialpartial x(2x e^x^2+y^2) = 2e^x^2+y^2 + 2xcdot e^x^2+y^2cdot(2x) = (2 + 4x^2)e^x^2+y^2

Passo 4

De modo análogo, para zyy calculamos a derivada parcial segunda em relação a y a partir de zy = 2y e^x^2+y^2:
zyy = partialpartial y(2y e^x^2+y^2) = 2e^x^2+y^2 + 2ycdot e^x^2+y^2cdot(2y) = (2 + 4y^2)e^x^2+y^2

Passo 5

Por fim, para zxy derivamos zx = 2x e^x^2+y^2 em relação a y (ou zy em relação a x), usando regra da cadeia na exponencial:
zxy = partialpartial y(2x e^x^2+y^2) = 2xcdot e^x^2+y^2cdot(2y) = 4xy,e^x^2+y^2 Note que zyx=zxy por ser função de segunda derivada contínua.

Resposta

z_{xx} = (2 + 4x2)e{x2+y2}, z_{yy} = (2 + 4y2)e{x2+y2}, z_{xy} = z_{yx} = 4xy e{x2+y^2}

Exercícios relacionados