Estime as integrais abaixo:
integral-1^1 sen tt d t, com erro inferior a 10^-6

Passo 1

O enunciado pede para estimar a integral integral-1^1 sin tt ,dt com erro inferior a 10^-6. Vamos usar conceitos de função par, séries de Taylor e critério de erro para série alternante.

Passo 2

Observamos que f(t)=sin t/t é par, pois
sin(-t)-t=-sin t-t=sin tt
Logo
integral-1^1sin tt,dt=2integral0^1sin tt,dt.

Passo 3

Expandimos sin t em série de Taylor no entorno de zero:
sin t=sumk=0^infty(-1)^kt^2k+1(2k+1)!
Dividindo por t vem
sin tt=sumk=0^infty(-1)^kt^2k(2k+1)! .

Passo 4

Integramos termo a termo de 0 a 1:
integral0^1sin tt,dt=sumk=0^infty(-1)^k1(2k+1)!integral0^1t^2k,dt =sumk=0^infty(-1)^k1(2k+1)!(2k+1) .

Passo 5

Para garantir erro <10^-6 usamos o critério da série alternante: o resto em módulo fica abaixo do valor do primeiro termo omitido. No caso,
RN<=2|(-1)^N+1(2(N+1)+1)!,(2(N+1)+1)| =21(2N+3)!,(2N+3)
Testando N=3 (termos de k=0 a 3):
219!,9approx6,12times10^-7<10^-6, logo basta até k=3.

Passo 6

Calculamos a soma parcial para k=0,1,2,3:
Termos individuais:
2cdot11!,1=2, 2cdot(-13!,3)=-0,1111111, 2cdot15!,5=0,0033333, 2cdot(-17!,7)=-0,00005664
Somando:
$$2-0{,}1111111+0{,}0033333-0{,}00005664\approx1{,}89216555.
$$

Passo 7

Concluímos que
integral-1^1sin tt,dtapprox1,892166
com erro inferior a 10^-6.

Resposta

approx1,892166, com erro inferior a 10^-6

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