Estime as integrais abaixo:
integral0^1 e^-t^2 d t, com erro inferior a 10^-7

Passo 1

Neste exercício vamos estimar o valor da integral
integral0^1 e^-t^2 , dt,
com erro menor que 10^-7. O conteúdo principal que vamos usar é a expansão em série de Taylor de e^-t^2 e o critério de erro para séries alternadas.

Passo 2

Começamos expandindo e^-t^2 em série de Taylor em torno de zero. Sabemos que
e^-t^2 = sumn=0^infty (-1)^nn! , t^2n
Essa expansão converge para todo t.

Passo 3

Integramos agora termo a termo de zero a um. Como
integral0^1 t^2n , dt = 12n+1,
obtemos
integral0^1 e^-t^2 , dt = sumn=0^infty (-1)^nn!,(2n+1)

Passo 4

Para controlar o erro usamos o critério de série alternada: os termos
an = dfrac1n!,(2n+1) são positivos e decrescem em n. O erro ao truncar na soma até n=N é no máximo
aN+1. Queremos aN+1<10^-7.

Passo 5

Calculamos alguns valores de an:
a7approx1.32times10^-5, a8approx1.46times10^-6, a9approx1.45times10^-7, a10approx1.31times10^-8.
Como a10<10^-7, basta somar até n=9.

Passo 6

Somando os termos de n=0 a n=9 temos aproximadamente
sumn=0^9 (-1)^nn!,(2n+1) approx 0.74682412,
com erro garantido menor que a10<10^-7.

Resposta

0.74682412

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