Calcule as derivadas parciais em todo o domínio, em seguida verifique, usando a definição de difenciabilidade, se as funções dadas são diferenciáveis em
e em
.
e)
e)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função
em todo o domínio e verificar se a função é diferenciável nos pontos
e
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e usar a definição de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa derivar
tratando
como uma constante.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. De forma semelhante, tratamos
como uma constante.
Passo 4
Com as derivadas parciais encontradas, vamos verificar a diferenciabilidade da função nos pontos
e
usando a definição de diferenciabilidade.
Primeiro, observamos que a função
está definida apenas quando
.
Passo 5
Analisando o ponto
, vemos que
. Portanto, a função não está definida em
, o que significa que ela não pode ser diferenciável nesse ponto.
Passo 6
Agora, vamos verificar o ponto
. Aqui,
, então a função está definida. As derivadas parciais existem e são contínuas próximo a
, pois
não é zero nesse ponto.
Segundo a definição de diferenciabilidade, se as derivadas parciais existem e são contínuas em um ponto, a função é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
não é diferenciável em
porque não está definida nesse ponto. Em
, a função é diferenciável.