Calcule as derivadas parciais em todo o domínio, em seguida verifique, usando a definição de difenciabilidade, se as funções dadas são diferenciáveis em (0,0) e em 1,1.
e) f(x, y) = 1/(x+y)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função em todo o domínio e verificar se a função é diferenciável nos pontos e . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e usar a definição de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Isso significa derivar tratando como uma constante.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . De forma semelhante, tratamos como uma constante.

Passo 4

Com as derivadas parciais encontradas, vamos verificar a diferenciabilidade da função nos pontos e usando a definição de diferenciabilidade.
Primeiro, observamos que a função está definida apenas quando .

Passo 5

Analisando o ponto , vemos que . Portanto, a função não está definida em , o que significa que ela não pode ser diferenciável nesse ponto.

Passo 6

Agora, vamos verificar o ponto . Aqui, , então a função está definida. As derivadas parciais existem e são contínuas próximo a , pois não é zero nesse ponto.
Segundo a definição de diferenciabilidade, se as derivadas parciais existem e são contínuas em um ponto, a função é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função não é diferenciável em porque não está definida nesse ponto. Em , a função é diferenciável.

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