Determine vetores u e v tais que
||u||^2 + ||v||^2 = ||u - v||^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar vetores e que satisfaçam a equação:
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de Álgebra Vetorial, especificamente com normas de vetores e produto escalar. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular a norma de um vetor e como expandir a norma da diferença de dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor , representada por , é uma medida do seu tamanho e é calculada pela raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes. Porém, como estamos lidando com normas ao quadrado, fica mais simples:

Passo 3

Vamos expandir o lado direito da equação :

Passo 4

Substituindo essa expansão na equação original:
Agora, podemos simplificar ambos os lados da equação:

Passo 5

Resolvendo a equação :
Isso nos diz que o produto escalar dos vetores e é zero.

Passo 6

O produto escalar de dois vetores ser zero significa que eles são ortogonais, ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si.

Resposta

Portanto, os vetores e devem ser ortogonais para satisfazer a equação . Qualquer par de vetores que seja perpendicular um ao outro resolve o problema.

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