Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçe o gráfico: f(x) = 3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar várias características da função . Vamos precisar entender sobre domínio, imagem, zeros da função, intervalos onde a função é positiva ou negativa e, por fim, esboçar o gráfico. Basicamente, vamos usar conceitos de funções lineares para resolver tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de que a função pode aceitar.
Para a função , não há restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos. Isso significa que pode ser qualquer número real.
Domínio:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de .
Como é uma função linear com coeficiente de diferente de zero, ela pode assumir qualquer valor real conforme varia. Ou seja, a imagem também é todo o conjunto dos números reais.
Imagem:

Passo 4

Vamos achar os zeros da função. Os zeros são os valores de que fazem .
Então, resolvemos:
Dividindo ambos os lados por 3:
Conjunto de zeros:

Passo 5

Hora de identificar os intervalos de positividade e negatividade da função.
Para :
  • Quando : é positivo.
  • Quando : é negativo.
  • Quando : (já vimos isso no passo anterior).
Intervalos:
  • Positiva:
  • Negativa:

Passo 6

Vamos esboçar o gráfico da função .
Sabemos que é uma reta passando pela origem (0,0) com inclinação de 3. Isso significa que para cada aumento de 1 no , o aumenta 3. A reta sobe à medida que vai para a direita e desce para a esquerda.
Passos para desenhar:
  1. Marque o ponto (0,0).
  2. Escolha alguns valores de , por exemplo:
  3. Plote esses pontos no gráfico.
  4. Desenhe a reta que passa por eles.
Gráfico da função f(x) = 3x

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Conjunto de zeros:
  • Intervalos de positividade:
  • Intervalos de negatividade:
  • Gráfico: Uma reta que passa pela origem com inclinação positiva, subindo da esquerda para a direita.

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