Calcule as derivadas parciais usando a definição em (x0, y0) = (0, 0).
z = x^(1/5) y^(1/3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função no ponto usando a definição de derivadas parciais. Isso envolve entender como a função muda em relação a cada variável, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de em relação a no ponto é definida como:
E, similarmente, a derivada parcial em relação a é:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas no ponto .

Passo 3

Vamos começar com a derivada parcial em relação a no ponto :
Sabemos que qualquer número multiplicado por zero é zero, então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a no ponto :
Novamente, multiplicamos por zero:

Resposta

Portanto, as derivadas parciais da função no ponto são:

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