Desenhe as curvas de nivel e esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenharmos as curvas de nível da função
e também esboçar o gráfico dessa função. Isso envolve entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com o gráfico 3D da função. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre círculos, já que a função envolve termos quadráticos em
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como
, é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Basicamente, é o “contorno” da função onde a função assume o valor
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Para encontrar as curvas de nível, vamos igualar
a uma constante
:
Passo 4
Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
Essa equação representa um círculo no plano
com centro na origem
e raio
, desde que
seja positivo, ou seja,
.
Passo 5
Então, as curvas de nível de
são círculos concêntricos centrados na origem, onde o raio de cada círculo depende do valor de
. Quanto maior o valor de
, maior o raio do círculo.
Passo 6
Vamos desenhar algumas curvas de nível para diferentes valores de
:
-
Para
: Um círculo de raio 1. -
Para
: Um círculo de raio 2. -
Para
: Um círculo de raio 3.
Passo 7
Com esses círculos desenhados no plano
, podemos visualizar como as curvas de nível se expandem à medida que
aumenta.
Passo 8
Agora, para esboçar o gráfico da função
, precisamos pensar em como essas curvas de nível se traduzem em três dimensões. A função representa um paraboloide de revolução, que é uma superfície parabólica que se abre para cima.
Passo 9
No gráfico 3D, o eixo
representa os valores de
. Cada curva de nível é um “anel” horizontal na superfície do paraboloide. Conforme
aumenta (ou seja,
aumenta), os anéis ficam maiores, indicando que o paraboloide se expande para cima.
Resposta
As curvas de nível da função
são círculos concêntricos centrados na origem com raio
para
. O gráfico da função é um paraboloide de revolução que se abre para cima, onde cada nível mais alto de
corresponde a um círculo de raio maior no plano
.