Desenhe as curvas de nivel e esboce o gráfico. f(x, y) = 1 + x^2 + y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenharmos as curvas de nível da função e também esboçar o gráfico dessa função. Isso envolve entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com o gráfico 3D da função. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre círculos, já que a função envolve termos quadráticos em e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como , é o conjunto de pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. Basicamente, é o “contorno” da função onde a função assume o valor .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Para encontrar as curvas de nível, vamos igualar a uma constante :

Passo 4

Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
Essa equação representa um círculo no plano com centro na origem e raio , desde que seja positivo, ou seja, .

Passo 5

Então, as curvas de nível de são círculos concêntricos centrados na origem, onde o raio de cada círculo depende do valor de . Quanto maior o valor de , maior o raio do círculo.

Passo 6

Vamos desenhar algumas curvas de nível para diferentes valores de :
  • Para :
    Um círculo de raio 1.
  • Para :
    Um círculo de raio 2.
  • Para :
    Um círculo de raio 3.

Passo 7

Com esses círculos desenhados no plano , podemos visualizar como as curvas de nível se expandem à medida que aumenta.

Passo 8

Agora, para esboçar o gráfico da função , precisamos pensar em como essas curvas de nível se traduzem em três dimensões. A função representa um paraboloide de revolução, que é uma superfície parabólica que se abre para cima.

Passo 9

No gráfico 3D, o eixo representa os valores de . Cada curva de nível é um “anel” horizontal na superfície do paraboloide. Conforme aumenta (ou seja, aumenta), os anéis ficam maiores, indicando que o paraboloide se expande para cima.

Resposta

As curvas de nível da função são círculos concêntricos centrados na origem com raio para . O gráfico da função é um paraboloide de revolução que se abre para cima, onde cada nível mais alto de corresponde a um círculo de raio maior no plano .

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