Calcule as derivadas parciais utilizando as propriedades de derivadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular as derivadas parciais da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente aprende como mudar a função em relação a uma variável específica, mantendo a outra constante. Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar as regras básicas de derivação, como a regra do produto e a derivada de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é simbolizada por
. A derivada parcial em relação a
significa que a gente vai ver como a função muda quando só o
muda, enquanto o
fica fixo.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da função
em relação a
:
- Para o primeiro termo
, a é uma constante em relação a . Então, a derivada é simplesmente . - Para o segundo termo
, a também é constante, então a derivada é . - O termo constante
tem derivada zero.
Assim, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, representada por
. Isso significa que a gente vai observar como a função muda quando só o
varia, mantendo o
constante.
Passo 5
Derivando cada termo da função
em relação a
:
- Para o primeiro termo
, tratamos como uma constante. Usamos a regra da potência: a derivada de é . Então, a derivada do termo é . - Para o segundo termo
, a é constante e a derivada de é 1. Então, a derivada é . - O termo constante
tem derivada zero.
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais da função
são: