Determinar os pontos críticos das funções e classifique-os em máximos e mínimos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma função
e precisa encontrar os pontos críticos dessa função e dizer se eles são máximos ou mínimos. Isso está relacionado ao estudo de cálculo, mais especificamente a derivadas parciais e otimização de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a
e
, igualar elas a zero para achar os pontos críticos e depois analisar a natureza desses pontos usando o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
Usamos a regra do produto aqui, já que temos uma função multiplicando outra.
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas.
Para
:
Para
:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Como
nunca é zero, podemos simplificar:
Da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Isso não nos dá informação sobre
, então precisamos olhar de novo. Como
, qualquer valor de
satisfaz as derivadas sendo zero. Portanto, todos os pontos onde
são pontos críticos.
Passo 4
Agora vamos classificar esses pontos utilizando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Sem entrar nos detalhes completos, após calcular essas derivadas e aplicar o teste, percebemos que a função não possui um ponto de máximo ou mínimo definido ao longo da linha
. Na verdade, a função apresenta um ponto de sela para todos os pontos críticos nessa linha.
Resposta
Os pontos críticos da função
são todos os pontos onde
(qualquer valor de
). Esses pontos são pontos de sela, ou seja, não são nem máximos nem mínimos.