Calcule as derivadas parciais utilizando as propriedades de derivadas.
f(x, y) = (x^2 * y) / (x^2 + 2 * y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas parciais da função . Isso faz parte da matéria de cálculo diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é uma fração envolvendo e , então usaremos a regra do quociente, que diz que se temos uma função , sua derivada em relação a é .

Passo 3

Identificando e :
Agora, vamos derivar e em relação a :
  • (derivada de é , é tratado como constante)
  • (derivada de é , é constante)

Passo 4

Aplicando a regra do quociente para :
Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usaremos a regra do quociente.

Passo 6

Identificando e para derivação em relação a :
Derivando e em relação a :
  • (derivada de é 1, é constante)
  • (derivada de é , é constante)

Passo 7

Aplicando a regra do quociente para :
Simplificando o numerador:
Então:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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