Determinar os pontos críticos das funções e classifique-os em máximos e mínimos.
z = (x - 2)² + y²

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo funções de duas variáveis. A tarefa é encontrar os pontos críticos da função e determinar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e analisar essas derivadas para identificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Isso significa que, para encontrar onde a função não está aumentando nem diminuindo em , igualamos a derivada a zero:

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Novamente, igualando a derivada a zero para encontrar onde não há variação em :

Passo 5

Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são zero simultaneamente. Portanto, o ponto crítico é:

Passo 6

Para classificar o ponto crítico como máximo ou mínimo, observamos a forma da função. A função é uma soma de termos quadráticos, que sempre são positivos ou zero. Isso indica que o ponto crítico é um mínimo.

Resposta

O ponto crítico da função é e ele é um ponto de mínimo.

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