Determinar os pontos críticos das funções e classifique-os em máximos e mínimos.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo funções de duas variáveis. A tarefa é encontrar os pontos críticos da função
e determinar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e analisar essas derivadas para identificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Isso significa que, para encontrar onde a função não está aumentando nem diminuindo em
, igualamos a derivada a zero:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Novamente, igualando a derivada a zero para encontrar onde não há variação em
:
Passo 5
Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são zero simultaneamente. Portanto, o ponto crítico é:
Passo 6
Para classificar o ponto crítico como máximo ou mínimo, observamos a forma da função. A função
é uma soma de termos quadráticos, que sempre são positivos ou zero. Isso indica que o ponto crítico é um mínimo.
Resposta
O ponto crítico da função é
e ele é um ponto de mínimo.