Determine se as seguintes funções são contínuas:
, dada por
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por:
O objetivo é verificar se essa função é contínua em todo o seu domínio. Para isso, vamos precisar dos conceitos de continuidade de funções e do limite de funções em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto
se:
- A função está definida em
. - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O valor da função em
é igual a esse limite.
Vamos analisar a continuidade da função
em todos os pontos de
.
Passo 3
Para todos os pontos
, a função
é composta por funções que são contínuas onde estão definidas (pois o denominador
não é zero). Portanto,
é contínua para todo
.
Passo 4
O ponto crítico é
. Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Primeiro, verificamos que
.
Passo 5
Agora, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 0:
Sabemos que:
Aqui, podemos fazer a substituição
, então quando
,
. Aplicando isso:
Passo 6
Comparando o limite com o valor da função em 0:
Os três critérios de continuidade são satisfeitos no ponto
.
Resposta
A função
é contínua para todo
.