Determine se as seguintes funções são contínuas: g: R -> R, dada por g(x) = { sen(3x) / (3x), se x ≠ 0; 1, se x = 0 }

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por:
O objetivo é verificar se essa função é contínua em todo o seu domínio. Para isso, vamos precisar dos conceitos de continuidade de funções e do limite de funções em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se:
  1. A função está definida em .
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O valor da função em é igual a esse limite.
Vamos analisar a continuidade da função em todos os pontos de .

Passo 3

Para todos os pontos , a função é composta por funções que são contínuas onde estão definidas (pois o denominador não é zero). Portanto, é contínua para todo .

Passo 4

O ponto crítico é . Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Primeiro, verificamos que .

Passo 5

Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de 0:
Sabemos que:
Aqui, podemos fazer a substituição , então quando , . Aplicando isso:

Passo 6

Comparando o limite com o valor da função em 0:
Os três critérios de continuidade são satisfeitos no ponto .

Resposta

A função é contínua para todo .

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