Encontre os pontos críticos e classifique em máximo e mínimos.
f(x, y, z) = 2x^2 + xy + 4y^2 + xz + z^2 + 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem a função:
O objetivo aqui é encontrar os pontos críticos dessa função e depois classificá-los como máximos ou mínimos. Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis , e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando alteramos uma variável de cada vez.
Calculemos:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde todas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e .

Passo 4

A partir da equação (2):
E da equação (3):
Substituindo na expressão para :
Agora, substituímos e na equação (1):
Então, . Usando isso:
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 5

Agora que temos o ponto crítico, vamos classificá-lo. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais da função.
Calculando as segundas derivadas:
Então, a matriz Hessiana é:

Passo 6

Para classificar o ponto crítico, analisamos os autovalores da matriz Hessiana ou usamos os menores principais menores. Se a matriz Hessiana for definida positiva, temos um mínimo local; se for definida negativa, um máximo local; se for indefinida, é um ponto de sela.
Calculando os determinantes principais:
  1. O primeiro menor principal é (positivo).
  2. O segundo menor principal é:
  1. O determinante da matriz Hessiana completa:
Como todos os menores principais são positivos, a matriz Hessiana é definida positiva, o que significa que o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

O ponto crítico da função é e ele é um mínimo local.

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