Mostre que se
, então o limite
existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se
, então o limite
existe. Aqui estamos lidando com o conceito de limites na matemática, que nos ajuda a entender o comportamento de uma função próximo a um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar verificar os limites laterais (quando
se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita) e ver se eles são iguais quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o limite de uma função quando
se aproxima de um valor específico. O limite
existe se os limites pela esquerda (
) e pela direita (
) existem e são iguais. Ou seja, o que acontece com
à medida que
se aproxima de 2 por valores menores que 2 deve ser igual ao que acontece quando
se aproxima de 2 por valores maiores que 2.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite pela esquerda,
. Isso significa que estamos olhando para valores de
que estão chegando perto de 2, mas são menores que 2. Dependendo de como a função
está definida para
, substituímos
e calculamos o limite.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o limite pela direita,
. Aqui, estamos observando valores de
que se aproximam de 2, mas são maiores que 2. De novo, usando
na definição de
para
, calculamos esse limite.
Passo 5
Depois de calcular ambos os limites laterais, vamos comparar os resultados. Se os limites pela esquerda e pela direita são iguais, então
existe e é igual a esse valor comum. Caso contrário, o limite não existe.
Resposta
Portanto, ao substituir
e verificar que os limites laterais são iguais, concluímos que o limite
existe.