Mostre que se C=2, então o limite lim x 2 f(x) existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se , então o limite existe. Aqui estamos lidando com o conceito de limites na matemática, que nos ajuda a entender o comportamento de uma função próximo a um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar verificar os limites laterais (quando se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita) e ver se eles são iguais quando .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o limite de uma função quando se aproxima de um valor específico. O limite existe se os limites pela esquerda ( ) e pela direita ( ) existem e são iguais. Ou seja, o que acontece com à medida que se aproxima de 2 por valores menores que 2 deve ser igual ao que acontece quando se aproxima de 2 por valores maiores que 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, . Isso significa que estamos olhando para valores de que estão chegando perto de 2, mas são menores que 2. Dependendo de como a função está definida para , substituímos e calculamos o limite.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite pela direita, . Aqui, estamos observando valores de que se aproximam de 2, mas são maiores que 2. De novo, usando na definição de para , calculamos esse limite.

Passo 5

Depois de calcular ambos os limites laterais, vamos comparar os resultados. Se os limites pela esquerda e pela direita são iguais, então existe e é igual a esse valor comum. Caso contrário, o limite não existe.

Resposta

Portanto, ao substituir e verificar que os limites laterais são iguais, concluímos que o limite existe.

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