Calcule as derivadas parciais utilizando as regras ordinárias de derivação
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y,z)=e^{x y z}+\arctg\bigl(\frac{3 x y}{z^{2}}\bigr).
O conteúdo é derivadas parciais de funções de várias variáveis, usando regra do produto, cadeia e quociente.
Passo 2
Para calcular
, escrevemos f como soma de duas funções:
e com
.
Pela regra da cadeia e do produto:
Para
, temos
Logo,
Passo 3
Para
, o procedimento é análogo, trocando x por y onde fizer derivada em u:
Assim,
Passo 4
Para
, derivamos cada parte:
$$\frac{\partial}{\partial z}e^{x y z}=x y,e^{x y z}.
$$
Para
,
Logo,
Resposta
As derivadas parciais são: