Calcule as derivadas parciais utilizando as regras ordinárias de derivação
f(x, y, z)=e^x cdot y cdot z+arctg(3 cdot x cdot yz^2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y,z)=e^{x y z}+\arctg\bigl(\frac{3 x y}{z^{2}}\bigr).
O conteúdo é derivadas parciais de funções de várias variáveis, usando regra do produto, cadeia e quociente.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, escrevemos f como soma de duas funções: e^x y z e com g(x,y,z)=arctg(u).
Pela regra da cadeia e do produto:
u=3 x yz^2
Para partialpartial xe^x y z=y z,e^x y z, temos
g
Logo,
partial gpartial x=11+u^2cdot partial upartial x, partial upartial x=3yz^2

Passo 3

Para partial fpartial y, o procedimento é análogo, trocando x por y onde fizer derivada em u:
partialpartial ye^x y z=x z,e^x y z, partial upartial y=3xz^2
Assim,
partial fpartial y=x z,e^x y z+3xz^21+l(3 x yz^2r)^2

Passo 4

Para partial fpartial z, derivamos cada parte:
$$\frac{\partial}{\partial z}e^{x y z}=x y,e^{x y z}.
$$
Para partialpartial ze^x y z=x y,e^x y z ,
u=3xy,z^-2
Logo,
partial upartial z=3xycdot(-2)z^-3=-6xyz^3

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x=y z,e^x y z+tfrac3yz^21+l(tfrac3 x yz^2r)^2,
partial fpartial y=x z,e^x y z+tfrac3xz^21+l(tfrac3 x yz^2r)^2,
partial fpartial z=x y,e^x y z-tfrac6xyz^31+l(tfrac3 x yz^2r)^2

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