Seja f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) onde \[f(x)= \begin{cases}1 / x, & \text { se } 0<x<b \\\\ 1-(1 / 4) x, & \text { se } x \geq b\end{cases}
Obtenha b>0\] tal que \(f seja contínua em (0,+\infty).
Calcule \left(f^{\prime}\right)^{+}(b) e \left(f^{\prime}\right)^{-}(b). O que se pode concluir sobre f^{\prime}(b).

Passo 1

O enunciado dá a função f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\) definida por partes: \[f(x)= \begin{cases} 1/x, & \text{se } 0<x<b,\\[4pt] 1-(1/4)x, & \text{se } x\ge b. \end{cases}
As perguntas são:
  • Obter b>0\] tal que \(f seja contínua em (0,+\infty).
  • Calcular \left(f^{\prime}\right)^{+}(b) (derivada pela direita em b) e \left(f^{\prime}\right)^{-}(b) (derivada pela esquerda em b).
  • Concluir o que acontece com f^{\prime}(b) (se existe e, em caso afirmativo, qual é o valor).
As informações relevantes do enunciado são exatamente as duas fórmulas da função em cada ramo e o domínio (0,+\infty). A única possível descontinuidade é em x=b, porque cada ramo é contínuo em sua faixa.]

Passo 2

Condição de continuidade em x=b: para f ser contínua em (0,+\infty) precisamos que não haja salto em b. Como cada ramo é contínuo em seu intervalo aberto, só é necessário garantir continuidade em b. A continuidade em b exige:
\lim_{x\to b^-} f(x)=f(b)=\lim_{x\to b^+} f(x).
Aqui f(b) é dado pelo ramo x\ge b, isto é f(b)=1-(1/4)b. A limite pela esquerda é o valor da função 1/x quando x\to b^-, isto é \lim_{x\to b^-} f(x)=1/b. Igualando a esquerda com o valor em b obtemos a equação que determina b:
\frac{1}{b}=1-\frac{1}{4}b.

Passo 3

Resolver a equação obtida:
\frac{1}{b}=1-\frac{1}{4}b.
Multiplicando ambos os lados por b (lembre que b>0, então isso é válido):
1=b-\frac{1}{4}b^{2}.
Reorganizando para ter um polinômio igual a zero:
\frac{1}{4}b^{2}-b+1=0.
Multiplicando por 4 para simplificar os coeficientes:
b^{2}-4b+4=0.
Reconhece-se uma soma de quadrados:
(b-2)^{2}=0.
Portanto
b=2.
Esse é o único b>0 que torna a igualdade verdadeira, logo o único b>0 que faz f contínua em todo (0,+\infty).

Passo 4

Verificação rápida: para b=2 temos \lim_{x\to2^-}f(x)=1/2 (peguei isso do ramo 1/x) e f(2)=1-(1/4)\cdot 2=1-1/2=1/2 (peguei isso do ramo 1-(1/4)x). As duas coincidem, então não há descontinuidade em x=2. Assim f é contínua em (0,+\infty) quando b=2.

Passo 5

Definição e cálculo das derivadas laterais: a derivada pela esquerda em b é a limite
\left(f'\right)^{-}(b)=\lim_{x\to b^-}\frac{f(x)-f(b)}{x-b},
e a derivada pela direita é
\left(f'\right)^{+}(b)=\lim_{x\to b^+}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}.
Como cada ramo é diferenciável em pontos internos do seu intervalo, podemos usar a derivada das fórmulas de cada ramo avaliada em b.
Para o ramo à esquerda ( 0<x<b) temos f(x)=1/x. A derivada dessa função (fórmula conhecida; aqui eu mostro como obtê-la) é:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^{2}}.
Portanto a derivada pela esquerda em b é
\left(f'\right)^{-}(b)=-\frac{1}{b^{2}}.
Substituindo b=2:
\left(f'\right)^{-}(2)=-\frac{1}{2^{2}}=-\frac{1}{4}.

Passo 6

Agora o ramo à direita ( x\ge b) é f(x)=1-\frac{1}{4}x. Essa é uma função linear, cuja derivada é a constante (mostrar: derivada de ax+b é a):
\frac{d}{dx}\!\left(1-\frac{1}{4}x\right)=-\frac{1}{4}.
Logo a derivada pela direita em b é
\left(f'\right)^{+}(b)=-\frac{1}{4}.
Em particular, para b=2 temos
\left(f'\right)^{+}(2)=-\frac{1}{4}.

Passo 7

Conclusão sobre f'(b): como as derivadas laterais existem e coincidem,
\left(f'\right)^{-}(2)=\left(f'\right)^{+}(2)=-\frac{1}{4},
então a derivada f'(2) existe e vale -\tfrac{1}{4}.
Dica rápida de prova: se numa função por partes as duas fórmulas são diferenciáveis até o ponto de junção e se a função é contínua no ponto de junção, basta avaliar as derivadas de cada ramo no ponto; se essas duas derivadas forem iguais, a derivada da função por partes existe e é esse valor.

Resposta

b=2
\left(f^{\prime}\right)^{+}(2)=-\dfrac{1}{4}
\left(f^{\prime}\right)^{-}(2)=-\dfrac{1}{4}
f'(2)=-\dfrac{1}{4}

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