Seja
Obtenha
seja contínua em
.
Calcule
e
. O que se pode concluir sobre
.
Passo 1
O enunciado dá a função
As perguntas são:
- Obter
seja contínua em
. - Calcular
(derivada pela direita em ) e (derivada pela esquerda em ). - Concluir o que acontece com
(se existe e, em caso afirmativo, qual é o valor).
As informações relevantes do enunciado são exatamente as duas fórmulas da função em cada ramo e o domínio
. A única possível descontinuidade é em
, porque cada ramo é contínuo em sua faixa.]
Passo 2
Condição de continuidade em
: para
ser contínua em
precisamos que não haja salto em
. Como cada ramo é contínuo em seu intervalo aberto, só é necessário garantir continuidade em
. A continuidade em
exige:
Aqui
é dado pelo ramo
, isto é
. A limite pela esquerda é o valor da função
quando
, isto é
. Igualando a esquerda com o valor em
obtemos a equação que determina
:
Passo 3
Resolver a equação obtida:
Multiplicando ambos os lados por
(lembre que
, então isso é válido):
Reorganizando para ter um polinômio igual a zero:
Multiplicando por
para simplificar os coeficientes:
Reconhece-se uma soma de quadrados:
Portanto
Esse é o único
que torna a igualdade verdadeira, logo o único
que faz
contínua em todo
.
Passo 4
Verificação rápida: para
temos
(peguei isso do ramo
) e
(peguei isso do ramo
). As duas coincidem, então não há descontinuidade em
. Assim
é contínua em
quando
.
Passo 5
Definição e cálculo das derivadas laterais: a derivada pela esquerda em
é a limite
e a derivada pela direita é
Como cada ramo é diferenciável em pontos internos do seu intervalo, podemos usar a derivada das fórmulas de cada ramo avaliada em
.
Para o ramo à esquerda (
) temos
. A derivada dessa função (fórmula conhecida; aqui eu mostro como obtê-la) é:
Portanto a derivada pela esquerda em
é
Substituindo
:
Passo 6
Agora o ramo à direita (
) é
. Essa é uma função linear, cuja derivada é a constante (mostrar: derivada de
é
):
Logo a derivada pela direita em
é
Em particular, para
temos
Passo 7
Conclusão sobre
: como as derivadas laterais existem e coincidem,
então a derivada
existe e vale
.
Dica rápida de prova: se numa função por partes as duas fórmulas são diferenciáveis até o ponto de junção e se a função é contínua no ponto de junção, basta avaliar as derivadas de cada ramo no ponto; se essas duas derivadas forem iguais, a derivada da função por partes existe e é esse valor.