Obtenha os valores de a, b \in \mathbb{R} tais que f seja derivável em x_{0}=1, onde
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & \text { se } x<1 \\\ a x+b, & \text { se } x \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes e pede para determinar a,b\in\mathbb{R} de modo que f seja derivável em x_{0}=1.
Informações fornecidas:
  • Para x<1 vale f(x)=x^{2}.
  • Para x\ge 1 vale f(x)=ax+b, com a,b reais desconhecidos.
  • Ponto onde exigimos derivabilidade: x_{0}=1.
O que precisa ser encontrado:
  • Os valores de a e b tais que f seja derivável em x=1.

Passo 2

Relembrando o conceito necessário (aula rápida e útil para a prova):
A função f é derivável em x_{0} se existir o limite
f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}.
Para uma função definida por partes, isso implica duas condições práticas e equivalentes que costumam ser usadas na prova:
  1. f é contínua em x_{0} (ou seja, os limites laterais de f em x_{0} coincidem e igualam f(x_{0})).
  2. As derivadas laterais existem e são iguais: \displaystyle \lim_{x\to x_{0}^{-}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{x\to x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}.
Vou aplicar essas duas condições em x_{0}=1.

Passo 3

Condição de continuidade em x=1.
Calcular o limite à esquerda (pegando a expressão de x<1):
\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\lim_{x\to 1^{-}} x^{2}=1.
Calcular f(1) usando a definição para x\ge1 (peguei isso do enunciado):
f(1)=a\cdot 1 + b = a+b.
Para continuidade precisamos que
\lim_{x\to1^{-}}f(x)=f(1),
ou seja
1 = a+b.
Essa é a primeira equação que relaciona a e b:
\boxed{a+b=1.}

Passo 4

Condição da igualdade das derivadas laterais — derivada à esquerda.
Para x<1, f(x)=x^{2}. A derivada dessa expressão é f'(x)=2x. Logo a derivada lateral à esquerda em 1 vale
\lim_{x\to1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1^{-}}\frac{x^{2}-1}{x-1}.
Fatorando o numerador:
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\quad (x\neq1),
portanto
\lim_{x\to1^{-}}(x+1)=2.
Conclusão: a derivada lateral esquerda em 1 é 2.

Passo 5

Derivada lateral à direita.
Para x\ge1, f(x)=ax+b. A derivada dessa expressão é constante e igual a a. Podemos também ver pelo quociente:
\lim_{x\to1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1^{+}}\frac{ax+b-(a+b)}{x-1}=\lim_{x\to1^{+}}\frac{a(x-1)}{x-1}=a.
Logo a derivada lateral direita em 1 é a.

Passo 6

Igualar as derivadas laterais (condição de diferenciabilidade):
Da Passo 4 a derivada à esquerda é 2. Da Passo 5 a derivada à direita é a. Para que f seja derivável em 1 precisamos
a = 2.
Substituindo em a+b=1 (da Passo 3):
2 + b = 1 \quad\Rightarrow\quad b = 1-2 = -1.

Passo 7

Verificação final rápida (para ficar tranquilo na hora da prova):
  • Continuidade: a+b = 2 + (-1) = 1, coincide com \lim_{x\to1^{-}}x^{2}=1. OK.
  • Derivadas laterais: esquerda =2, direita =a=2. Iguais. OK.
Portanto os valores encontrados são consistentes e garantem diferenciabilidade em x=1.

Resposta

a=2
b=-1

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