Obtenha os valores de
tais que
seja derivável em
, onde
Passo 1
O enunciado dá uma função definida por partes e pede para determinar
de modo que
seja derivável em
.
Informações fornecidas:
- Para
vale . - Para
vale , com reais desconhecidos. - Ponto onde exigimos derivabilidade:
.
O que precisa ser encontrado:
- Os valores de
e tais que seja derivável em .
Passo 2
Relembrando o conceito necessário (aula rápida e útil para a prova):
A função
é derivável em
se existir o limite
Para uma função definida por partes, isso implica duas condições práticas e equivalentes que costumam ser usadas na prova:
-
é contínua em (ou seja, os limites laterais de em coincidem e igualam ). - As derivadas laterais existem e são iguais:
.
Vou aplicar essas duas condições em
.
Passo 3
Condição de continuidade em
.
Calcular o limite à esquerda (pegando a expressão de
):
Calcular
usando a definição para
(peguei isso do enunciado):
Para continuidade precisamos que
ou seja
Essa é a primeira equação que relaciona
e
:
Passo 4
Condição da igualdade das derivadas laterais — derivada à esquerda.
Para
,
. A derivada dessa expressão é
. Logo a derivada lateral à esquerda em
vale
Fatorando o numerador:
portanto
Conclusão: a derivada lateral esquerda em
é
.
Passo 5
Derivada lateral à direita.
Para
,
. A derivada dessa expressão é constante e igual a
. Podemos também ver pelo quociente:
Logo a derivada lateral direita em
é
.
Passo 6
Igualar as derivadas laterais (condição de diferenciabilidade):
Da Passo 4 a derivada à esquerda é
. Da Passo 5 a derivada à direita é
. Para que
seja derivável em
precisamos
Substituindo em
(da Passo 3):
Passo 7
Verificação final rápida (para ficar tranquilo na hora da prova):
- Continuidade:
, coincide com . OK. - Derivadas laterais: esquerda
, direita . Iguais. OK.
Portanto os valores encontrados são consistentes e garantem diferenciabilidade em
.