Calcule as derivadas f^{\prime}(x), onde
f(x)=\operatorname{sen}^{4}\left(x^{3}+4 x^{2}+1\right) \cos ^{2}\left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a derivada f^{\prime}(x) da função
f(x)=\operatorname{sen}^{4}\!\bigl(x^{3}+4x^{2}+1\bigr)\,\cos^{2}\!\bigl(x^{2}+1\bigr).
Informações dadas (peguei tudo do enunciado):
  • f(x) é o produto de duas funções: uma é \operatorname{sen}^{4}\bigl(x^{3}+4x^{2}+1\bigr) e a outra é \cos^{2}\bigl(x^{2}+1\bigr).
  • Definindo funções auxiliares para facilitar a notação: u(x)=x^{3}+4x^{2}+1,\qquad v(x)=x^{2}+1.
  • O que se pede: encontrar f^{\prime}(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Relembrando as ferramentas que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas):
  1. Regra do produto: se F(x)=A(x)\,B(x), então
F'(x)=A'(x)\,B(x)+A(x)\,B'(x).
Isso significa: derivada do produto = derivada do primeiro vezes o segundo + o primeiro vezes a derivada do segundo.
  1. Regra da cadeia e regra da potência combinadas: se H(x)=[G(x)]^{n} com n constante, então
H'(x)=n\,[G(x)]^{n-1}\,G'(x).
Se G(x)=\sin(u(x)) ou G(x)=\cos(u(x)), aplicamos a derivada interna u'(x) multiplicando no final (isso é a regra da cadeia).
  1. Derivadas básicas:
\frac{d}{dx}\sin(t)=\cos(t)\,t',\qquad \frac{d}{dx}\cos(t)=-\sin(t)\,t',
onde t=t(x) e t' é a derivada de t.
Vou aplicar essas regras com calma: primeiro identifico A(x)=\sin^{4}(u(x)) e B(x)=\cos^{2}(v(x)) e uso a regra do produto.

Passo 3

Apliquei a regra do produto com A(x)=\sin^{4}\bigl(u(x)\bigr) e B(x)=\cos^{2}\bigl(v(x)\bigr). Então
f'(x)=A'(x)\,B(x)+A(x)\,B'(x).
Agora vou calcular A'(x) e B'(x) separadamente.

Passo 4

Calcular A'(x) passo a passo.
Escrevendo A(x)=\bigl(\sin(u(x))\bigr)^{4}. Pela regra da potência com n=4,
A'(x)=4\bigl(\sin(u(x))\bigr)^{3}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\sin(u(x))\bigr).
Agora aplico a derivada de \sin(u(x)): \frac{d}{dx}\sin(u(x))=\cos(u(x))\cdot u'(x). Assim
A'(x)=4\sin^{3}\bigl(u(x)\bigr)\,\cos\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Calcule a derivada interna u'(x). Como u(x)=x^{3}+4x^{2}+1,
u'(x)=3x^{2}+8x.

Passo 5

Calcular B'(x) passo a passo.
Escrevendo B(x)=\bigl(\cos(v(x))\bigr)^{2}. Pela regra da potência com n=2,
B'(x)=2\cos\bigl(v(x)\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos(v(x))\bigr).
Agora a derivada de \cos(v(x)) é -\sin(v(x))\cdot v'(x). Portanto
B'(x)=2\cos\bigl(v(x)\bigr)\cdot\bigl(-\sin\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x)\bigr) =-2\cos\bigl(v(x)\bigr)\,\sin\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x).
Calcule a derivada interna v'(x). Como v(x)=x^{2}+1,
v'(x)=2x.

Passo 6

Substituir A'(x) e B'(x) na fórmula da regra do produto.
Temos
A'(x)=4\sin^{3}\bigl(u(x)\bigr)\,\cos\bigl(u(x)\bigr)\,\bigl(3x^{2}+8x\bigr),
B(x)=\cos^{2}\bigl(v(x)\bigr),
A(x)=\sin^{4}\bigl(u(x)\bigr),
B'(x)=-2\cos\bigl(v(x)\bigr)\,\sin\bigl(v(x)\bigr)\,(2x).
Logo
\begin{aligned} f'(x)={}&4\sin^{3}\bigl(u(x)\bigr)\,\cos\bigl(u(x)\bigr)\,\bigl(3x^{2}+8x\bigr)\,\cos^{2}\bigl(v(x)\bigr)\\[4pt] &\quad{}+\sin^{4}\bigl(u(x)\bigr)\,\bigl(-2\cos\bigl(v(x)\bigr)\,\sin\bigl(v(x)\bigr)\,(2x)\bigr). \end{aligned}]

Passo 7

Simplificar a expressão e substituir u(x) e v(x) para ficar na forma final limpa.
Primeiro simplifico o segundo termo multiplicando -2 por 2x para obter -4x:
f'(x)=4\sin^{3}\bigl(u(x)\bigr)\cos\bigl(u(x)\bigr)\bigl(3x^{2}+8x\bigr)\cos^{2}\bigl(v(x)\bigr) -4x\,\sin^{4}\bigl(u(x)\bigr)\cos\bigl(v(x)\bigr)\sin\bigl(v(x)\bigr).
Agora fatoro um fator comum para deixar mais compacto. Um fator óbvio em comum é 2\sin^{3}\bigl(u(x)\bigr)\cos\bigl(v(x)\bigr). Fatorando:
\begin{aligned} f'(x)={}&2\sin^{3}\bigl(u(x)\bigr)\cos\bigl(v(x)\bigr)\Bigl[2\bigl(3x^{2}+8x\bigr)\cos\bigl(u(x)\bigr)\cos\bigl(v(x)\bigr)\\[4pt] &\qquad{}-2x\,\sin\bigl(u(x)\bigr)\sin\bigl(v(x)\bigr)\Bigr]. \end{aligned}
Podemos simplificar um pouco o fator 2 dentro dos colchetes se quisermos, mas esta forma já é bastante organizada.
Finalmente substituo u(x)=x^{3}+4x^{2}+1 e v(x)=x^{2}+1 para escrever tudo em termos de x:
\begin{aligned} f'(x)={}&2\sin^{3}\!\bigl(x^{3}+4x^{2}+1\bigr)\,\cos\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\times\\[4pt] &\times\Bigl[2\bigl(3x^{2}+8x\bigr)\cos\!\bigl(x^{3}+4x^{2}+1\bigr)\cos\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\\[4pt] &\qquad{}-2x\,\sin\!\bigl(x^{3}+4x^{2}+1\bigr)\sin\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\Bigr]. \end{aligned}
Se preferir sem fatoração, a forma expandida final é
\begin{aligned} f'(x)={}&4\bigl(3x^{2}+8x\bigr)\sin^{3}\!\bigl(x^{3}+4x^{2}+1\bigr)\cos\!\bigl(x^{3}+4x^{2}+1\bigr)\cos^{2}\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\\[4pt] &\quad{}-4x\,\sin^{4}\!\bigl(x^{3}+4x^{2}+1\bigr)\cos\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\sin\!\bigl(x^{2}+1\bigr). \end{aligned}]

Resposta

f'(x)=4\bigl(3x^{2}+8x\bigr)\sin^{3}\!\bigl(x^{3}+4x^{2}+1\bigr)\cos\!\bigl(x^{3}+4x^{2}+1\bigr)\cos^{2}\!\bigl(x^{2}+1\bigr)-4x\,\sin^{4}\!\bigl(x^{3}+4x^{2}+1\bigr)\cos\!\bigl(x^{2}+1\bigr)\sin\!\bigl(x^{2}+1\bigr)

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