Calcule as derivadas
, onde
Passo 1
O enunciado pede calcular a derivada
da função
Informações dadas (peguei tudo do enunciado):
-
é o produto de duas funções: uma é e a outra é . - Definindo funções auxiliares para facilitar a notação:
- O que se pede: encontrar
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Relembrando as ferramentas que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas):
- Regra do produto: se
, então
Isso significa: derivada do produto = derivada do primeiro vezes o segundo + o primeiro vezes a derivada do segundo.
- Regra da cadeia e regra da potência combinadas: se
com constante, então
Se
ou
, aplicamos a derivada interna
multiplicando no final (isso é a regra da cadeia).
- Derivadas básicas:
onde
e
é a derivada de
.
Vou aplicar essas regras com calma: primeiro identifico
e
e uso a regra do produto.
Passo 3
Apliquei a regra do produto com
e
. Então
Agora vou calcular
e
separadamente.
Passo 4
Calcular
passo a passo.
Escrevendo
. Pela regra da potência com
,
Agora aplico a derivada de
:
. Assim
Calcule a derivada interna
. Como
,
Passo 5
Calcular
passo a passo.
Escrevendo
. Pela regra da potência com
,
Agora a derivada de
é
. Portanto
Calcule a derivada interna
. Como
,
Passo 6
Substituir
e
na fórmula da regra do produto.
Temos
Logo
Passo 7
Simplificar a expressão e substituir
e
para ficar na forma final limpa.
Primeiro simplifico o segundo termo multiplicando
por
para obter
:
Agora fatoro um fator comum para deixar mais compacto. Um fator óbvio em comum é
. Fatorando:
Podemos simplificar um pouco o fator
dentro dos colchetes se quisermos, mas esta forma já é bastante organizada.
Finalmente substituo
e
para escrever tudo em termos de
:
Se preferir sem fatoração, a forma expandida final é