Calcule as derivadas f^{\prime}(x), onde
f(x)=\ln \left(\frac{x^{2}+3 x+1}{x^{5}+8 x+2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\ln\!\left(\frac{x^{2}+3x+1}{x^{5}+8x+2}\right)
e pede para calcular f^{\prime}(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador da fração interior é x^{2}+3x+1.
  • O denominador da fração interior é x^{5}+8x+2.
  • Precisa-se da derivada de f em função de x.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (passo-a-passo e motivo): uma identidade útil para logaritmos é a diferença de logaritmos:
\ln\!\left(\frac{A}{B}\right)=\ln A-\ln B.
Aplicando isso a f ficamos com duas funções do tipo \ln(\text{algo}). Para derivar uma função do tipo \ln(u(x)) usamos a regra da cadeia combinada com a derivada do logaritmo natural: se g(x)=\ln(u(x)) então
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u'(x) é a derivada da função interna u(x). Em palavras: a derivada do logaritmo é a derivada da parte interna dividida pela própria parte interna. Essa regra é direta porque a derivada de \ln t em relação a t é 1/t e daí multiplica-se por u'(x) pela regra da cadeia.

Passo 3

Vamos aplicar \ln da fração como diferença:
f(x)=\ln(x^{2}+3x+1)-\ln(x^{5}+8x+2).
Definimos
A(x)=x^{2}+3x+1,\qquad B(x)=x^{5}+8x+2.
Calculamos as derivadas de A e B:
A'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+3x+1\bigr)=2x+3,
B'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}+8x+2\bigr)=5x^{4}+8.
Expliquei: para x^{n} a derivada é n x^{n-1}, e para ax a derivada é a.

Passo 4

Aplicando a regra da derivada do logaritmo a cada termo:
f'(x)=\frac{A'(x)}{A(x)}-\frac{B'(x)}{B(x)}.
Substituindo A,A',B,B':
f'(x)=\frac{2x+3}{x^{2}+3x+1}-\frac{5x^{4}+8}{x^{5}+8x+2}.
Essa forma já é correta e frequentemente mais prática na prova — cada parcela é a derivada de um \ln.

Passo 5

Se quiser uma única fração com denominador comum, fazemos o somador com denominador (x^{2}+3x+1)(x^{5}+8x+2). Calculamos o numerador passo a passo:
Multiplicando (2x+3) por B(x):
(2x+3)(x^{5}+8x+2)=2x^{6}+3x^{5}+16x^{2}+28x+6.
Multiplicando (5x^{4}+8) por A(x):
(5x^{4}+8)(x^{2}+3x+1)=5x^{6}+15x^{5}+5x^{4}+8x^{2}+24x+8.
Subtraindo a segunda expressão da primeira (porque a segunda parcela vem com sinal negativo):
\begin{aligned} \text{numerador} &=(2x+3)B(x)-(5x^{4}+8)A(x)\\\ &=-3x^{6}-12x^{5}-5x^{4}+8x^{2}+4x-2. \end{aligned}
Portanto a forma combinada é
f'(x)=\frac{-3x^{6}-12x^{5}-5x^{4}+8x^{2}+4x-2}{\bigl(x^{2}+3x+1\bigr)\bigl(x^{5}+8x+2\bigr)}.

Resposta

f'(x)=\frac{2x+3}{x^{2}+3x+1}-\frac{5x^{4}+8}{x^{5}+8x+2}
\text{ou}\qquad f'(x)=\frac{-3x^{6}-12x^{5}-5x^{4}+8x^{2}+4x-2}{\bigl(x^{2}+3x+1\bigr)\bigl(x^{5}+8x+2\bigr)}.

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