Calcule as derivadas
, onde
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador da fração interior é
. - O denominador da fração interior é
. - Precisa-se da derivada de
em função de .
Passo 2
Estratégia que vamos usar (passo-a-passo e motivo): uma identidade útil para logaritmos é a diferença de logaritmos:
Aplicando isso a
ficamos com duas funções do tipo
. Para derivar uma função do tipo
usamos a regra da cadeia combinada com a derivada do logaritmo natural: se
então
Aqui
é a derivada da função interna
. Em palavras: a derivada do logaritmo é a derivada da parte interna dividida pela própria parte interna. Essa regra é direta porque a derivada de
em relação a
é
e daí multiplica-se por
pela regra da cadeia.
Passo 3
Vamos aplicar
da fração como diferença:
Definimos
Calculamos as derivadas de
e
:
Expliquei: para
a derivada é
, e para
a derivada é
.
Passo 4
Aplicando a regra da derivada do logaritmo a cada termo:
Substituindo
:
Essa forma já é correta e frequentemente mais prática na prova — cada parcela é a derivada de um
.
Passo 5
Se quiser uma única fração com denominador comum, fazemos o somador com denominador
. Calculamos o numerador passo a passo:
Multiplicando
por
:
Multiplicando
por
:
Subtraindo a segunda expressão da primeira (porque a segunda parcela vem com sinal negativo):
Portanto a forma combinada é