Calcule as derivadas de primeira ordem abaixo abaixo: ( \mathbf{2 , 0} Pontos)
p(x)=\frac{x^{3} \ln (x+1)}{e^{2 x}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem da função
p(x)=\frac{x^{3}\ln(x+1)}{e^{2x}}.
Para isso, vamos usar as regras de derivação: a representar como produto e a regra do produto, junto com a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Reescrevemos
p(x)=x^{3}\ln(x+1)\cdot e^{-2x}.
Definimos
u(x)=x^{3}\ln(x+1), \quad v(x)=e^{-2x},
de modo que p(x)=u(x)\,v(x).

Passo 3

Calculamos u'(x) usando a regra do produto em x^{3} e \ln(x+1):
u'(x)=\bigl(x^{3}\bigr)' \ln(x+1)+x^{3}\bigl[\ln(x+1)\bigr]' =3x^{2}\ln(x+1)+x^{3}\cdot\frac{1}{x+1}.
Para v'(x), aplicamos a regra da cadeia em e^{-2x}:
v'(x)=e^{-2x}\cdot(-2)=-2e^{-2x}.

Passo 4

Pela regra do produto,
p'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u, u', v e v':
p'(x)=\bigl[3x^{2}\ln(x+1)+\frac{x^{3}}{x+1}\bigr]e^{-2x} +x^{3}\ln(x+1)\bigl(-2e^{-2x}\bigr).

Passo 5

Fatorando e^{-2x}:
p'(x) =e^{-2x}\Bigl(3x^{2}\ln(x+1)+\frac{x^{3}}{x+1}-2x^{3}\ln(x+1)\Bigr).
Agrupando os termos em \ln(x+1):
3x^{2}\ln(x+1)-2x^{3}\ln(x+1) =x^{2}\ln(x+1)(3-2x),
ficando uma forma simplificada:

Resposta

p'(x) =e^{-2x}\Bigl[x^{2}\ln(x+1)(3-2x)+\frac{x^{3}}{x+1}\Bigr].

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