Resolver as inequações em \mathbb{R}.
\left|2 x^{2}+3 x+3\right| \leq 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação com módulo
\bigl|2x^{2}+3x+3\bigr|\le3.
O conteúdo envolvido é inequação com valor absoluto, que transformamos em duas desigualdades sem módulo.

Passo 2

A condição \bigl|2x^{2}+3x+3\bigr|\le3 é equivalente ao sistema
-3 \le 2x^{2}+3x+3 \le 3.

Passo 3

Analisando a parte superior:
2x^{2}+3x+3 \le 3
isso leva a
2x^{2}+3x \le 0,
que fatorado é
x\,(2x+3)\le0.
Uma simples análise de sinais dá a solução
x\in \bigl[-\tfrac32,0\bigr].

Passo 4

Analisando a parte inferior:
2x^{2}+3x+3 \ge -3
\Longrightarrow
2x^{2}+3x+6 \ge 0.
O discriminante é
\Delta = 3^{2}-4\cdot2\cdot6 = 9-48 = -39 < 0,
e o coeficiente de x^2 é positivo, logo a expressão é sempre positiva. Portanto essa desigualdade vale para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

A solução da inequação original é a interseção das duas condições, ou seja
x\in \bigl[-\tfrac32,0\bigr].

Resposta

\bigl[-\tfrac32,0\bigr]

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